IOOD_Lab

внює двом. Тоді електронна таблиця буде мати вигляд:

Рисунок 1.5 – Електронна таблиця після введення вхідних даних завдання

10. Якщо змінити значення в комірках А2 і В2, то й імовірність автома-

тично зміниться в комірці С2, тому що в ній утримується формула, дані якої не є конкретними числами, а посилаються на значення інших комірок.

11. Щоб зберегти дані розрахунків імовірностей для інших завдань, бу-

демо вводити вихідні дані завдання в наступні рядки таблиці. Тому що форму-

ла для підрахунку імовірності знаходиться у комірці С2, скопіюємо її на наступні рядки. Для цього лівою кнопкою мишки необхідно нажати на нижній правий кут комірки та, утримуючи кнопку, тягти вниз до необхідної комірки.

Формула з комірки С2 автоматично скопіюється на наступні рядки, причому таким чином, що адреси комірок, за значеннями яких будуть робитися обчис-

лення, автоматично зміняться, тому що ми маємо справу з відносною адресаці-

єю.

12. З використанням шаблона вирішити наступні завдання: 1). Монета кинута один раз. Знайти імовірність появи гербу.

2). У коробці 4 синіх і 5 червоних футболок. Навмання витягають одну футболку. Знайти імовірність того, що вона виявиться синьою.

9

Рисунок 1.6 – Вигляд електронної таблиці при копіюванні формули

Рисунок 1.7 – Вигляд електронної таблиці після копіювання формули

3). Студент вивчив тільки 5 квитків з 20 можливих. Яка імовірність того,

що навмання витягнутий квиток виявиться вивченим?

4). Задумано двозначне число. Знайти імовірність того що задуманим числом виявиться: а) випадково назване число; б) випадково назване число,

цифри якого різні.

5). В урні знаходиться 6 однакових, ретельно перемішаних куль, причо-

10

му 2 з них - червоні, 3 - сині й 1 - біла. З урни навмання виймають одну кулю.

Яка імовірність того, що витягнута куля: а) червона; б) синя; в) біла?

6). Кинуто гральну кістку. Знайти імовірність того, що на верхній грані з'явиться:

а) число «2»; б) парне число; в) число «7»; г) не більше 6-и очок.

Завдання 2. Основні формули комбінаторики

Теоретичні відомості

Формули комбінаторики становлять теоретичну базу при використан-

ні класичного визначення імовірності, що у прикладних завданнях відіграє важ-

ливу роль.

Залежно від правил складання можна виділити три типи комбінацій:

Перестановки;

Розміщення;

Сполучення.

I. Перестановки

Комбінації з n елементів, які відрізняються друг від друга тільки поряд-

ком елементів, називають перестановками.

Позначаються символом Ðn ;

Ðn n!

Приклад. У змаганні брало участь 4 команди, скільки існує варіантів ро-

зподілити місця між ними.

Рішення. Кількість варіантів розподілу чотирьох команд по місцях дорі-

внює числу перестановок із чотирьох елементів: Р4 4! 1 2 3 4 24 .

Приклад. У ящику п'ять однакових пронумерованих кубиків. Навмання по одному витягають всі кубики з ящика. Знайти імовірність того, що номера витягнутих кубиків з'являться в зростаючому порядку.

11

Рішення. Позначимо A подію, що складається в тім, що номера витяг-

нутих кубиків з'являться в зростаючому порядку.

Сприяє події A тільки один результат, m 1 (із всіх можливих комбі-

націй номерів тільки одна з порядком зростання номерів).

Загальна кількість можливих результатів – кількість комбінацій з 5 но-

мерів, n P5 5! 1 2 3 4 5 120 .

Шукана імовірність: P( A) mn 51! 1201 .

ІІ. Розміщення

Комбінації з n елементів по k елементів, які відрізняються друг від друга

або самими елементами, або порядком елементів називають розміщеннями.

Позначаються символом Аnk

n - кількість всіх наявних елементів;

k – кількість елементів у кожній комбінації k n .

Приклад. Скільки існує варіантів розміщення 3-х призових місць, якщо в

розіграші беруть участь 7 команд?

Рішення. Необхідно прорахувати число можливих комбінацій витягну-

тих з 7 елементів і що включають по 3 елемента (причому {I–«Таврія», II– «Динамо», III–«Спартак»} і { I–«Динамо», II–«Таврія», III–«Спартак»} – різні

комбінації). Використовуємо число розміщень із 7 елементів по 3:

Приклад. З п'яти карток з буквами О, П, Р, С, Т навмання одну за іншою вибирають три й розташовують у ряд у порядку появи. Яка імовірність того, що вийде слово «ТОР»?

12

Рішення. Позначимо A подію, що складається в тім, що вийде слово

«ТОР».

Сприяє події A тільки один результат, m 1 (комбінація букв «ТОР»).

Загальна кількість можливих результатів дорівнює числу способів, яки-

ми можна відібрати 3 картки з наявних 5, одержуючи при цьому комбінації букв що відрізняються або самими буквами (СОР – ТОР), або їхнім порядком

(РОТ – ОРТ). Воно визначається числом розміщень із 5 елементів по 3:

Шукана імовірність:

ІІІ. Сполучення

Сполученнями називають всі можливі комбінації з n елементів по k

елементів, які відрізняються друг від друга принаймні хоча б одним елементом.

Позначаються символом Сnk

n - кількість всіх наявних елементів;

k – кількість елементів у кожній комбінації k n .

Приклад. Скількома способами можна вибрати 3 студентів, із групи чисельністю 30 чоловік.

Рішення. Необхідно прорахувати число можливих комбінацій витягну-

тих з 30 елементів що включають по 3 елемента (причому комбінації: {Пархо-

менко, Сергієнко, Божок} і {Сергієнко, Божок, Пархоменко}– однакові комбінації). Використовуємо число розміщень із 30 елементів по 3:

Приклад. В урні 5 білих і 4 червоних кулі. З урни навмання витягають 3

кулі. Знайти імовірність того, що витягнуті кулі - білі.

Рішення. Позначимо A подію, що складається в тім, що всі 3 кулі бу-

дуть білими.

Усього в урні 5 4 9 куль.

Загальне число можливих елементарних исходов випробування дорів-

нює числу способів, якими можна витягти 3 кулі з 9:

Приклад. У ящику є 11 однакових куль. Причому 4 з них пофарбовані в синій колір, а інші білі. Навмання витягають 5 куль. Знайти імовірність того,

що серед них 2 сині.

Рішення. Позначимо A подію, що складається в тім, що серед витягну-

тих 5 куль 2 сині.

Загальні кількість можливих елементарних результатів випробування дорівнює кількості способів, якими можна витягти 5 куль із 11, тобто

14

кулі повинні бути білими, взяти ж 3 білих кулі з наявних 7 можна C73 спосо-

бами. Отже, кількість сприятливих результатів дорівнює:

У загальному випадку, для розв’язання завдань типу: У партії з N дета-

лей є n стандартних. Навмання відібрані m деталей. Знайти імовірність того, що серед відібраних деталей рівно k стандартних. Можна використовувати форму-

лу:

Ck Cm k p n N n .

CNm

З використанням засобів пакета MS Excel реалізувати можливості обчи-

слень за основними формулами комбінаторики (сполучення, розміщення, пере-

становки).

Хід виконання завдання

1. У раніше створеному файлі (при виконанні завдання 1) перейменува-

ти «Аркуш 2» в «Комбінаторика».

2. Сполучення. Довільна k-елементна підмножина даної множини з n

елементів називається сполученням з N елементів по k. Порядок елементів у сполученні не суттєвий. Приклад типового завдання на сполучення: є 2 черво-

них і 5 жовтих тюльпанів; букет складають із 3-х квіток; скільки різних варіан-

тів складання букета? Тут береться підмножина з 3-х елементів із множини, що складається з 7-ми елементів, порядок зовсім не важливий.

3. Кількість сполучень можна обчислити за допомогою функції ЧИС-

ЛОКОМБ(n;k), що відноситься до математичних функцій.

4. На відповідному аркуші введіть заголовок в комірку А1 («Сполучен-

ня»).

15

5. В комірку А2 введіть текст «Загальна кількість елементів», в комірку В2 - «Кількість елементів підмножини», в комірку С2 - «Кількість сполучень».

Рисунок 1.8 – Зовнішній вигляд аркуша електронної таблиці після введення за-

головків

6. Об'єднайте комірки А1, В1 і С1. Для цього виділите відповідні комір-

ки й виберіть пункт «Формат комірок» з меню «Формат», або з контекстного меню. У вікні, що відкрилося, активуйте пункт «Об'єднання комірок». Натис-

ніть ОК.

7. Змініть формат комірок із заголовками відповідно до попереднього завдання.

Рисунок 1.9 – Зовнішній вигляд таблиці після форматування заголовків

16

8. В комірку С3 введіть формулу для обчислення сполучень: =ЧИСЛКОМБ(А3;В3)

Цю формулу ви можете ввести двома способами: або вручну, набравши її із клавіатури, або з використанням майстра функцій, піктограма для якого перебуває в рядку формул вікна електронної таблиці.

Рисунок 1.10 – Вигляд електронної таблиці після введення формули

9. Підставте значення, зазначені в прикладі вище, для обчислення кіль-

кості сполучень.

Рисунок 1.11 – Вигляд електронної таблиці після введення значень

17

10. Скопіюйте дану формулу на 10 рядків нижче.

Рисунок 1.12 – Вигляд електронної таблиці після копіювання формули

11. Розміщення. Різні впорядковані k-елементні підмножини множини з n елементів називаються розміщеннями з n елементів по k. Розміщення відріз-

няються один від одного або елементами, або їхніми порядками проходження.

Приклад типового завдання на обчислення розміщень: у групі 5 дівчин і 8 юна-

ків. Для представництва цієї групи на конференції вибирають 4 людини, яким привласнюються номери для виступу на даній конференції. Скільки різних ва-

ріантів складання такої групи можна побудувати? У даному завданні буде мі-

нятися як склад підмножини, так і порядок елементів даної підмножини. Тому застосовується формула для обчислення розміщень.

12. Обчислення розміщень засобами MS Excel можна реалізувати із за-

стосуванням функції ПЕРЕСТ(n;k), де n– кількість елементів ісходної множи-

ни, а k – кількість елементів обраної підмножини.

13. Виділіть в аркуші «Комбінаторика» діапазон комірок А1:С2. Скопі-

юйте їхній зміст у буфер (або сполученням клавіш Ctrl+C, або Виправлення -

Копіювати).

14. Встановіть курсив миші в комірку Е1. Вставте вміст буфера (сполу-

18