Методичка

51

Если известны (или могут быть разумно назначены) априорные вероятности всех состояний, то оптимальное решение находится на основе максимизации среднего выигрыша, Пусть P(S j )= Pj ; j =1,2,3,4 . Тогда при использовании стратегии

A1 средний выигрыш

a1 = P1(1 −l)+ P2 (1 − h)+ P3 (1−t)+ P4 (1−b),

а при использовании A2 он определяется формулой

a2 = P1(1 − g)+ P2 (1 − d )+ P3 + P4 .

При a1 > a2 принимается решение: срочная операция ( A1 ) при a1 < a2 - отказ от операции ( A2 ), при a1 = a2 оба решения равноправны.

Если вероятности неизвестны, то для выработки оптимального решения можно воспользоваться одним из критериев, рассмотренных в 3.3. Применение критерия Лапласа дает P1 = P2 = P3 = P4 = 0,25 ; поэтому в данном случае

срочной хирургической операции ( A2 ).

При отказе от использования априорных вероятностей (разных или равных) при выработке оптимального решения мы становимся перед необходимостью поиска

минимаксных стратегий по матрице Ma (критерий Вальда) или по матрице Mr

(критерий Сэвиджа). Однако, учитывая стремление хирурга при получении оптимального решения удовлетворить одновременно двум главным вышеуказанным целям (максимизации выживания и минимизации неоправданных потерь),

воспользуемся критерием Вальда применительно к матрице M f с сочетанного показателя полезности. Перед этим, рассмотрев матрицу Ma , отметим, что S3

является доминирующим состоянием. Оба элемента столбца S3 по величине больше

(или равны) соответствующих элементов других столбцов. Это означает, что S3 не участвует в поиске минимаксных стратегий (как заведомо невыгодная для игрока

Учитывая, что M f = Ma − Mr , получаем матрицу M f (табл. 3.14). Данная матрица в общем случае не имеет седловой точки. Соответствующая ей игра относится к играм 2 ×n и может легко решаться геометрическим способом, рассмотренным в 3.1.

54

верхнюю β* цены игры. Так же, как и раньше, полагаем, что g > l . Тогда

β1* = max{(1 −l)(, 1 − 2g +l)},

β*2 =1,

β* = min{β1* ,β*2 }= β1* = max{(1−l)(, 1 − 2g +l)}.

Так как g > l , то (1 − 2g +l)< (1 −l) и β* = (1 −l). Далее

α1* = min{(1 −l)(, 1− 2b)},

α*2 =1 − 2g +l,

α* = max{α1* , α*2 }.

Если l ≥ 2b , то (1 − 2b)≥ (1 −l)и α1* =1 −l . В этом случае из-за выполнения условия

(1 − 2g +l)< (1 −l) нижняя цена игры равна α* = (1 −l) и равна верхней цене игры β* ,

что говорит о наличии у M f седловой точки при выигрыше (1 −l). Хирург в этом

случае должен принимать решение о проведении срочной операции ( A1 ). Цена игры в данном случае равна γ* = α* = β* = (1 −l). Если же l < 2b , то седловой точки нет и решение по критерию Вальда ищется как смешанная стратегия хирурга.

Проведенный анализ хорошо иллюстрируется на рис.3.3, где дана геометрическая интерпретация данной игры по матрице M f . Из данного рисунка видно, что максимум нижней границы выигрыша никогда не может быть в точке A2 .

Знак наклона прямой S1S1 всегда будет постоянен, так как (1 − 2g +l)> (1 −l), а

величина (1 − 2g +l) никогда не превышает 1, так как g > l . Игра имеет решение в виде чистой стратегии A1 , только если (1 − 2b)≥ (1 −l), как показано на рис. 3.3, а.

Это соответствует условию l ≥ 2b . Из рис.3.3, б видно, что если (1 −l)> (1 − 2b), т.е

56

Алгоритм.

Исходные данные: l, g,b, p (может в задании отсутствовать).

1.Начало.

2.Если в задании есть p , то выполнить 3, иначе перейти к 4.

3.Выполнить следующие операции.

3.1.Вычислить a1 =1 −b + p(b −l).

3.2.Вычислить a2 =1− pg .

3.3.Если a1 > a2 , то принять решение A1 и перейти к 5.

3.4.Если a1 < a2 , то принять решение A2 и перейти к 5.

3.5.Если a1 = a2 , то принять решение A1 или A2 и перейти к 5.

4.При неизвестном p выполнить следующие операции.

4.1.Если l ≥ 2b , то принять решение A1 и перейти к 5.

4.2.Если l < 2b , то принять смешанную стратегию хирурга со следующим соотношением частот применения стратегий A1 и A2

проводить ли срочную хирургическую операцию, если для этих двух состояний

a1 > a2 , то принимается решение A1 проводить срочную операцию.

Пример 3.4. Решить задачу, сформулированную в вышеприведенном примере при условии отсутствия данных о вероятности p .

Согласно вышеописанному алгоритму, так как l < 2b , то принимается смешанная стратегия хирурга с соотношением частот чистых стратегий A1 и A2

F((A1 ))= 0,4 −0,03 = 7,4 .

F A2 0,08 −0,03

58

Пользуясь формулой (3.6), получаем решение в виде смешанной стратегии хирурга

Таким образом, F(A1 )/ F(A2 )= 0,4 и хирургу надо почти в два раза чаще применять отказ от операции, чем оперировать больного.

3.5. Минимизация риска хирургического вмешательства в онкологии

Злокачественные опухоли — это неуклонно прогрессирующее заболевание с безусловно плохим прогнозом. Будем рассматривать только те из них, при которых нет конкурирующих методов лечения, а рекомендуемое хирургическое вмешательство сопряжено с непосредственным хирургическим риском. Последний может выражаться в виде послеоперационной летальности q , которая в случае онкологических заболеваний зависит от локализации опухоли и характера заболевания и нередко достигает 20-40 % [8]. В этом случае клиническая операбельность — величина, равная вероятности выживания больного в случае успешного выполнения радикального вмешательства при резектабельной опухоли,

равная (1 − q). Она оценивает возможность больного перенести в данном лечебном учреждении показанную ему тяжелую радикальную операцию по поводу рака, выжить и быть выписанным. Рассматривая тактику хирурга при неосложненных опухолях, буцем решать вопрос о том, предлагать или не предлагать больному радикальную операцию при имеющемся риске, полагая, то она целесообразна по онкологическим соображениям и может быть выполнена технически. При этом в качестве цели радикальной операции при раке рассмотрим максимизацию продолжительности жизни онкологического больного.

В этом случае мы имеем два состояния больного (“природы”): S1 - больной операбелен, S2 - больной неоперабелен; вероятность состояния S2 равна q , а

вероятность состояния S1 - (1 − q). В распоряжении хирурга две стратегии: A1 -

предложить больному радикальную операцию и A2 - отказаться от вмешательства.

Выигрыш хирурга aij обозначим следующим образом: D - математическое ожидание продолжительности жизни данного больного при отказе от радикальной

продолжительность жизни больного в случае успешной радикальной операции равна 18 месяцам. Без операции он может прожить в среднем 12 месяцев. Вероятность летального исхода радикальной операции для данного больного равна 0,4.

оптимальной стратегией хирурга будет отказ от операций (стратегия A2 ).

Пример 3.7. Решить задачу, сформулированную в предыдущем примере, при

хирурга будет проведение операции (стратегия A1 ).

Рассмотрим теперь случай, когда величина операционного риска q врачу

неизвестна. В матрице Ma имеется седловая точка α = β = a22 = D (в табл. 3.22 она обведена кружком) и поэтому оптимальной стратегией хирурга, согласно критерию

Вальда, является чистая стратегия A2 - отказ от операции. Это очень осторожная стратегия, приводящая к тому, что никто из больных не проживет более D лет, хотя среди них есть и такие, которым хирург мог бы продлить жизнь до G лет. Для этой части больных неоправданные потери в виде нереализованной продолжительности жизни равны (G − D).

При использовании матрицы M f , учитывающей и необходимость

минимизации неоправданных потерь, оказывается, что у нее седловой точки нет и решение ищется в смешанных стратегиях. В соответствии с (3.6) оптимальное

оптимальным является применение хирургом смешанной стратегии с соотношением частот, даваемым выражением (З.11). Это правило менее точно, чем выбор оптимальной чистой стратегии при известной величине q , но оно все же лучше, чем отсутствие какого бы то ни было решения в аналогичной ситуации.

Если в силу разных причин хирург не может уверенно назвать ни величину D , ни величину G , то можно утверждать, что в такой ситуации вследствие