Методичка

11

ai = Nki . Считается, что общее число вызовов точно равно общему числу выездов,

(наилучшее с точки зрения получения наибольшего суммарного качества обслуживания) распределение врачей по группам больных, т.е. оптимальные значения элементов матрицы [xij ].

В. Распределение лекарственных препаратов по различным группам больных.

Для лечения трех групп больных B1 , B2 , B3 применяются два медикаментозных препарата A1 и A2 . Так как общее число доз этих препаратов равно общему числу больных, то каждому больному может быть выдана только одна доза какого-то из этих двух лекарств. Число больных в группе B j равно b j . Число доз препарата Ai равно ai . Эффективность лечения больного типа B j препаратом

Ai равна cij . Пусть xij - число больных группы B j , получающих препарат Ai .

Нужно распределить дозы препарата по больным так, чтобы суммарная эффективность лечения была максимальной, т.е. найти оптимальные значения элементов матрицы [xij ].

Г. Распределение операторов по рабочим местам.

общему числу операторов. Известно, что эффективность работы оператора из

группы Ai при управлении объектом B j определяется как элемент cij матрицы [сij ].

Пусть xij - число объектов вида B j , на которые предполагается направить

операторов из группы Ai . Нужно распределить всех операторов по объектам так,

чтобы суммарная эффективность их работы была максимальной, т.е. найти оптимальные значения элементов матрицы [xij ].

13

m n

L = ∑∑сij xij , j=1 i=1

при сформулированных выше ограничениях.

Данная задача приводится к основной задаче ЛП путем замены ограничений-

неравенств ограничениями-равенствами и введением (n +1) добавочных неотрицательных переменных. Сходная по содержательной постановке задача рассмотрена также в [10]. Вместо лекарственных препаратов в данной задаче можно рассматривать другие лечебные воздействия, физиотерапию, бальнеотерапию, физические нагрузки и т.д., суммарная доза которых также должна быть ограничена.

1.5. Выработка оптимального плана массового лечения

Данная задача взята из [11]. Пусть в результате массовой эпидемии имеется большой контингент больных в количестве N человек, нуждающихся в медицинской помощи. Эти больные находятся в различных состояниях B1 , B2 ,K, Bm ,

соответствующих различной степени тяжести заболевания (рис.1.3). Число больных,

сj = N j / N . В нашем распоряжении имеется r различных планов лечения этих

больных P1 , P2 ,K, Pr , каждый из которых требует использования n медикаментов.

Наличный запас медикаментов ограничен и равен M1 , M 2 ,K, M n , соответственно.

Пусть xij - относительное число больных, находящихся в состоянии B j , к которым применяется лечение по плану Pi ; абсолютное число таких больных равно xij N j .

Пусть также Aij - эффективность такого лечения, выражаемая в доле выздоровевших

вектора γij = (γ ij(1),γ ij(2),K,γij(n) ), причем γij(1) - количество первого медикамента, γij(2) -

второго и т.д.

14

i=1

Из-за ограниченности запасов медикаментов должны также выполняться неравенства

(табл.1.3). Нулевые элементы матрицы А , соответствующие прочеркам в матрице γ ,

связаны с отсутствием планирования применения данных планов лечения к соответствующим группам больных в связи с очевидной неэффективностью такого применения.

Используя исходные данные, вычислим

Ограничения (1.15) и (1.16) для данного примера имеют вид

16

Последнюю систему неравенств преобразуем в систему равенств, введя новые неотрицательные переменные y1 , y2 , y3 .

Таким образом, (1.17) и (1.18) образуют систему из 6 уравнений с 8

неизвестными: x11 , x31 , x22 , x32 , x13 , y1 , y2 , y3 . Применим геометрический способ решения. Выберем 2 свободных переменных x31 и x32 . Остальные 6 будут базисными. Выразим базисные переменные через свободные

L достигается в точке F . Таким образом, решение задачи:

Следовательно, при выбранной оптимальной схеме лечения относительное число выздоровевших больных максимально и составляет 97%.

x32 x32=-4x31+4,33

x32=-8x31+0,5

Рис.1.4

2. УПРАВЛЕНИЕ СОСТОЯНИЕМ ОРГАНИЗМА В БИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ НА ОСНОВЕ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

2.1. Метод динамического программирования

Рассмотрим управляемый процесс, который переводит некоторую систему G

из начального состояния S0 в конечное состояние Sm . При наличии промежуточных состояний такой перевод представляется в виде траектории, состоящей из

18

конкретной последовательности промежуточных состояний (рис.2.1). Если промежуточные состояния могут быть различными, то траектория перевода G из S0

в Sm неоднозначна и зависит от вырабатываемых управляющих воздействий x .

Введя какую-либо целевую функцию W =W (x), зависящую от выбранного управления x , можно сравнивать (по величине W ) траектории друг с другом и ставить задачу об отыскании оптимальной траектории, при которой достигается экстремум W . В зависимости от содержания целевой функции в процессе

W* = min{W (x)}.

x

Представим себе теперь процесс управления состоящим из конечного числа последовательных шагов. В этом случае траектория перехода G из S0 в Sm будет иметь вид последовательности промежуточных состояний S0 , S1 , S2 ,K, Sm , которая является результатом пошагового управления x , также имеющего вид последовательности x = x1 , x2 ,K, xm . Будет считать, что Si обозначает состояние системы G , а xi - управление на i-м шаге для произвольной траектории. Для конкретной же траектории конкретное управление xi' переводит G в конкретное состояние Si' . Нужно иметь в виду, что управления x1 , x2 ,K, xm в общем случае не числа, а вектора, функции, какие-либо предписания и т.п. Пусть на каждом отдельном i-м шаге, заключающемся в переходе из Si−1 в Si , известно значение целевой функции W которое обозначается wi . Считая выбранный критерий W

аддитивным, т.е. полагая, что

19

m

W= ∑wi ,

i=1

задача оптимизации формулируется следующим образом. Требуется найти такое оптимальное управление x* = x1 , x2 ,K, xm (где xi - оптимальное шаговое управление на i-м шаге), при котором целевая функция W принимает минимальное значение, т.е.

Для примера, приведенного на рис.2.2, существует два варианта управлений и две возможных траектории, для каждой из которых можно подсчитать значение целевой функции.

Пусть W '>W '' ; тогда второй вариант является оптимальным, т.е. x* = x'', W* =W '' .

S1''

Рис. 2.2

20

программирования основан на использовании общего принципа, известного как принцип оптимальности. Он формулируется так [7]:

Каково бы ни было состояние S системы G в результате какого-то числа шагов, мы должны выбирать управление на ближайшем шаге так, чтобы оно в совокупности с оптимальным управлением на всех последующих шагах приводило к минимальному значению целевой функции на всех оставшихся шагах, включая данный.

При решении задач динамического программирования полезно пользоваться схемой решения, данной в [6,7]. После выбора способа описания состояний управляемой системы и разбиения всего процесса управления на шаги применяется следующая процедура [7].

1. Перечислить набор шаговых управлений xi для каждого шага и налагаемые на них ограничения.

2. Для каждого i-го шага определить значение wi в функции от состояния Si−1

на (i −1)-м шаге и от шагового управления xi

4. Пусть Wi (Si−1 ) - условный оптимум целевой функции, получаемый на всех последующих шагах, начиная с i-го и до конца. Надо записать основное рекуррентное уравнение динамического программирования, выражающее Wi (Si−1 )

Этому условному оптимуму целевой функции соответствует условное оптимальное управление на i-м шаге xi (Si−1 ), которое совместно с оптимальным управлением на всех последующих шагах обращает целевую функцию на всех оставшихся шагах, начиная с данного, в минимум.