Основные теоремы теории вероятностей Теорема о произведении вероятностей

Вероятность произведения двух независимых событий A и B равна произведению вероятностей событий: P(A·B)=P(A)·P(B).

Пусть, например, одновременно бросают два кубика. Количество очков, выпавших на кубиках, можно считать независимыми событиями. Поэтому вероятность того, что на обоих кубиках выпадет 6 очков, равна 16·16=136.

Вероятность произведения двух зависимых событий A и B равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие уже наступило: P(A·B)=P(A)·P(B|A).

Приведем пример пары событий, для которых выполняется формула P(A·B)=P(A)·P(B|A), но не выполняется формула P(A·B)=P(A)·P(B). Для любого дня в октябре вероятность того, что в Лондоне идет дождь, равна 0,3. При этом если в какой-то день шел дождь, то вероятность того, что на следующий день пойдет дождь, равна 0,7. Найдем вероятность того, что и 1-го и 2-го октября следующего года в Лондоне будет идти дождь: она равна P(A·B)=P(A)·P(B|A)=0,3·0,7=0,21. В последнем равенстве события A и B соответственно означают, что 1-го и 2-го октября следующего года будет идти дождь. Легко видеть, что если вычислять вероятность по формуле P(A·B)=P(A)·P(B), то мы получим заниженную оценку: 0,09. Это связано с тем, что события A и B — зависимые, поскольку вероятность дождя 2-го октября зависит от того, был ли дождь 1-го октября.

Рассмотрим еще один пример:

P(A·B)=P(B)·P(A|B)=13·23=29

Событие B: шарик из 1-й вазы

Событие A: шарик белый

Ваза 2

Ваза 1

Во время испытания смешали шарики из двух ваз и вытащили случайный шарик. Рассмотрим события: A: шарик белого цвета, B: шарик из первой вазы. В первой вазе было 24 шарика, а во второй — 12. Поэтому вероятность того, что шарик из первой вазы, равна P(B)=23. Поскольку доля белых шариков в первой вазе равна 13, то P(A|B)=13. Тогда P(A·B)=P(B)P(A|B)=23·13=29. Можно проверить результат: всего в двух вазах 36 шариков, из них 8 белые из первой вазы. Поэтому P(A·B)=836=29.

Теорема о сумме вероятностей

Вероятность суммы двух несовместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий: P(A+B)=P(A)+P(B).

Вероятность суммы двух совместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения: P(A+B)=P(A)+P(B)−P(A·B).

Если изобразить события A и B в виде множеств на плоскости, то легко убедиться, что эти утверждения выполняются.

P(A+B)=P(A)+P(B)−P(A·B)

P(A+B)=P(A)+P(B)

A и B несовместные

B

A

A и B совместные

A·B

B

A

A+B

Следующие примеры иллюстрируют эти утверждения:

1. Несовместные события. Вероятность того, что на кубике выпало число очков, кратное трем равно сумме вероятностей того, что на кубике выпало 3 очка и 6 очков. 2. Совместные события. Пусть событие A состоит в том, что число очков на кубике кратно 3, а B в том, что оно кратно двум. Событие A состоит из двух результатов, а B — из трех: A=3,6, B=2,4,6. Сумма событий A+B состоит из четырех результатов: 2,3,4,6, а пересечение — из одного результата: A·B=6. Легко видеть что последнее равенство выполняется: P(A+B)=46=26+36−16=P(A)+P(B)−P(A·B).