2 Примеры построения моделей обратных решеток

Точка с целочисленными координатами hkl в обратном пространстве приобретает физический смысл и становится узлом обратной решетки, если в кристалле имеется семейство атомных плоскостей (hkl), перпендикулярных радиусу-вектору этой точки и расположенных с периодичностью:

d_hkl = 1 / g_hkl.

Это условие выполняется для всех точек с целочисленными координатами в обратном пространстве кристалла с простой атомной решеткой.

Структуру обратной решетки можно наглядно представить с помощью модели, в которой радиусы-векторы узлов направлены нормально к атомным плоскостям соответствующих семейств в кристалле и имеют модули, обратно пропорциональные d в этих семействах. Для построения такой модели нужно, прежде всего, определить последовательный ряд межплоскостных расстояний в кристалле, начиная с наибольшего, которому отвечает узел обратной решетки, ближайший к началу координат – узлу 000. Среди близких к началу узлов обычно оказываются и узлы в направлениях [100]ʹʹ, [010]ʹʹ и [001]ʹʹ в которых лежат осевые векторы aʹʹ, bʹʹ и cʹʹ.

Модули векторов обратной решетки можно найти аналитически или графически. Расчет ведут по формулам для межплоскостных расстояний в соответствующих семействах плоскостей. Графически d_hkl находят по нормальной проекции всех узлов атомной решетки на какую-либо плоскость, перпендикулярную данному семейству; dm есть расстояние между линиями – следами плоскостей этого семейства, заселенных одинаково густо атомами одного и того же сорта. Такое построение особенно легко проделать для кристаллов высших сингоний, образованных атомами одного элемента.

2.1 Модель обратной решетки оцк кристалла

На рисунке 2.1-а показана элементарная ячейка атомной решетки ОЦК кристалла.

Осевые единицы обратной решетки равны aʹʹ = bʹʹ = cʹʹ = 1/a и, кроме того, aʹʹ ||а, bʹʹ ||b, cʹʹ ||с.

Найдем узлы обратной решетки на некоторых основных направлениях и построим модель небольшого участка этой решетки.

Межплоскостное расстояние в семействе плоскостей (100), как видно на рисунке 2.1-б, присутствием второго базисного атома с координатами 1/2 делится пополам и становится равным dʹ = d / 2 = 1 / 2.

Модуль радиуса-вектора первого узла на направлении вектора будет | | 2 / а = 2aʹʹ, а его координаты – 200.

Симметрия решетки позволяет по всем трем кубическим осям расположить ближайшие узлы на таких же расстояниях (рисунок 2.1-в).

По направлению [110] межплоскостное расстояние в семействе плоскостей (110), как видно на том же рисунке 2.1-в, составляет dʹʹ = d = / 2 и первый узел на направлении [110]ʹʹ в обратной решетке расположен на расстоянии | | = / 2 = (1 / a) = =

Очевидно, что координаты этого узла 1aʹʹ 1bʹʹ 0, или в осевых единицах 110. Аналогично расположены на двух других координатных плоскостях узлы 011 и 101 (рисунок 2.1-г).

Как видно на сечении (рисунок 2.1-д), в семействе плоскостей (111) = / 6. Ближайший к нулевому узел обратной решетки на направлении [111ʹʹ] расположен на расстоянии | | = = = (1/a) 2 = и, следовательно, имеет координаты 2aʹʹ 2bʹʹ 2cʹʹ т.е. 222 (рисунок 2.1-е).

На том же сечении (110) видно, что первый узел на направлении [112ʹʹ] встречается на расстоянии | | = (a / 6 = координаты этого узла 1aʹʹ, 1bʹʹ, 2cʹʹ, т.е. 112. Аналогично расположены узлы с координатами 211 и 121 по двум другим направлениям [112ʹʹ]. Расположение всех полученных узлов показано на рисунке 2.1-ж.

Вспомнив сказанное выше о смысле кратных векторов обратной решетки, поместим на трех направлениях типа [110ʹʹ] вслед за ближайшими узлами следующие на удвоенном расстоянии от нулевого узла. Такие узлы будут иметь координаты 220, 202 и 022 и завершат собой построение некоего кубика с центрированными гранями, как видно из рисунка 2.1-з.

Таким образом, обратная решетка ОЦК кристалла является гранецентрированной кубической решеткой с периодом 2aʹʹ.

Если приглядеться к координатам полученных нами узлов обратной решетки ОЦК кристалла 110, 200, 112, 220, 310, 222..., то нетрудно заметить, что сумма координат любого узла оказывается четным числом.