2.1 Описание сау

Объекты и СУ состоят из элементов различной природы. Описание каждого элемента дается на языке соответствующей научной дисциплины. Например, для механических объектов используются уравнения Лагранжа, Ньютона, для электрических – законы Ома и Кирхгофа, для гидродинамических – уравнения Бернулли, Стокса и т. д. Для анализа свойств системы в теории автоматичеееского управления используется единообразное, стандартное описание. Суть его в следующем:

• каждый реальный элемент рассматривается как звено системы, в котором осуществляется преобразование одного процесса (входного воздействия) в другой (выходную реакцию) или просто преобразование "вход  выход".

u Звено y u – вход; y – выход.

• взаимодействие между звеньями задается путем описания связей между их входами и выходами; эти связи определяют структуру системы.

У ниверсальным языком теоретического естествознания, служащим для моделирования взаимосвязей процессов в природе и технике, является язык дифференциальных уравнений. Любые реальные системы являются нелинейными. Поэтому в общем случае система описывается нелинейным дифференциальным уравнением n-го порядка (или системой нелинейных дифференциальных уравнений) и соответствующими начальными условиями.

Например, нелинейное уравнение колебаний математического маятника имеет вид

где m – масса «материальной точки»; l –длина подвеса;  – угол поворота подвеса относительно вертикальной оси; M – приложенный момент.

Наряду с дифференциальными уравнениями в теории автоматического управления широко используются уравнения состояния.

2.1.1 Пространство состояний

По характеру реакции на входные воздействия все системы или их отдельные элементы можно разделить на статические и динамические. В статических звеньях выход y(t) определяется только значением входа u(t) в данный момент времени t; все, что было с системой до этого, никакого влияния не оказывает. Такие системы описываются статической характеристикой:

y (t) = f(u(t)).

В динамических системах информации о входном воздействии в данный момент недостаточно, чтобы узнать выходной сигнал; также важна и предыстория изменения входа и начальное состояние:

y (t) = S(x(t₀), u[t₀, t]),

где x(t) – некоторая характеристика, которая называется состоянием системы.

Относительно понятия «состояние системы» справедливы следующие утверждения:

 состояние системы в данный момент времени содержит всю информацию о системе и позволяет определить ее поведение в будущем;

 состояние динамической системы определяется входным процессом и начальным состоянием;

 состояние системы определяется не единственным образом, а с точностью до взаимно-однозначного преобразования.

Множество X = {x} возможных состояний системы называется пространством состояний.

Для непрерывных систем уравнения состояния могут быть представлены в виде системы

Первое уравнение (собственно уравнение состояния) описывает изменение состояния системы во времени в зависимости от начального состояния и входного сигнала и характеризует динамику системы. Второе уравнение (уравнение выхода) устанавливает связь выходного сигнала с текущими значениями состояния и входа; оно является статическим соотношением.

Следует иметь в виду, что x(t), y(t) являются векторами, а функции f(), g() – вектор-функциями от векторных аргументов, в общем случае нелинейными. Видим, что уравнение состояния представляется в форме Коши.

Рассмотрим в качестве примера описание в пространстве состояний свободных колебаний математического маятника. Математическая модель свободных колебаний имеет вид

В пространстве состояний в качестве переменных можно принять: . Тогда получим следующие уравнения состояний:

и уравнение выхода в виде y = x₁.

Отметим, что подобный выбор переменных состояния не является единственно возможным.