5.4.2 Критерий устойчивости в методе гармонического баланса

Если зависимость q(a) в окрестности решения a = a* такова, что при росте a корни уравнения Q(p) + P(p)q(a) = 0 оказываются в левой полуплоскости, а при уменьшении a чисто мнимые корни i приобретают положительную вещественную часть, то a* задает амплитуду устойчивого периодического решения.

Другими словами. Автоколебания с амплитудой a* соответствуют чисто мнимому решению Q(i*) + P(i*)q(a*) = 0. Автоколебания устойчивы, т. е. реально существуют, если при увеличении а (а > a*) корни p = α ± i уравнения Q(p) + P(p)q(a) = 0 будут иметь отрицательную вещественную часть α < 0, а при уменьшении а (а < a*) – положительную вещественную часть α > 0.

Правило (по диаграмме Гольдфарба, рис. 5.34). Сдвинемся по годографу функции –q^-1(a) по вещественной оси, увеличивая a от значения a = a*. Если новая точка не будет охватываться годографом G(i), то a* соответствует устойчивому режиму, а в противном случае – неустойчивому.

Рис. 5.34. Критерий устойчивости автоколебаний по диаграмме Гольдфарба

5.5 Реакция нелинейной системы на внешние воздействия

Рассматривается система с одной нелинейностью (рис. 5.35).

Рис. 5.35. Система с одной нелинейностью

Система описывается уравнениями:

Q (p)e(t) + P(p)z(t) = Q(p)x(t);

z(t) = Ф[e(t)].

В теории нелинейных дифференциальных уравнений доказывается, что при ограниченности x^(t) = Q(p)x(t) и выполнении критериев устойчивости e(t) и z(t) являются ограниченными. Более того, если функция x^(t) является периодической, то и решение системы – устойчивое периодическое того же периода. В общем, устойчивые в целом нелинейные системы обладают свойствами сходными со свойствами устойчивых линейных систем.

Конечно, это сходство неполное. В частности, гармоническому внешнему воздействию необязательно соответствует гармоническая установившаяся реакция, так как нелинейность порождает высшие гармоники. Однако если линейная часть их хорошо подавляет, то при расчете установившейся реакции можно использовать метод гармонической линеаризации.

Заменим нелинейную связь z(t) = Ф[e(t)] на гармонически линеаризованную: z(t) = q₁(a)e(t), где а – пока неизвестная амплитуда колебаний на входе нелинейного элемента. Уравнение системы примет вид:

[ Q(p)+q₁(a)P(p)]e(t) = Q(p)x(t) или e(t) = H(p, q₁)x(t),

где – оператор, зависящий от q₁.

Если x(t) = a_x∙sint, то уравнение имеет частное решение e(t) = a∙sin(t +), где a = |H(i, q₁)|a_x,  = arg H(i, q₁).

Формулы те же, что и в линейной теории, но есть принципиальное различие. Так как параметр q₁ сам зависит от амплитуды а, то мы не получаем решение в явной форме, а лишь уравнение для определения неизвестной амплитуды, которое должно быть решено тем или иным способом. В отличие от расчета автоколебаний здесь  – заданная величина, частота воздействия.

Классическая графоаналитическая процедура вычисления решения состоит в следующем (рис. 5.36):

Рис. 5.36. Определение амплитуды вынужденных колебаний

• строится график функции a(q₁) = |H(i, q₁)|a_x, (, a_x – заданные параметры воздействия);

• строится график q₁(a), соответствующий характеристике нелинейного элемента;

• ордината точки пересечения дает a*.

Пример. Определение амплитуды вынужденных колебаний (рис. 5.37).

Рис. 5.37. Гармоническое воздействие на нелинейную систему

Используем описанную выше процедуру.

Решение определено при

Эту задачу можно решить и графоаналитически (рис. 5.38).

Рис. 5.38. Графоаналитическое решение

Процедура решения может быть обобщена на случай, когда x(t) содержит постоянную составляющую.