5.3 Устойчивость нелинейных сау
Придет ли с течением времени нелинейная система к положению равновесия (или заданного движения) при начальном отклонении от этого состояния? Кажется возможным для нелинейной системы с «гладкой» нелинейностью при малых начальных отклонениях (в пределах линейной зоны) считать и в дальнейшем ее поведение близким к поведению соответствующей линейной системы и использовать известные критерии устойчивости для линеаризованной модели. Однако такой подход неверен. Процесс, начавшийся в «линейной» зоне, даже при выполнении условий устойчивости «в малом», может эту зону покинуть.
При исследовании систем управления по нелинейным математическим моделям следует говорить об устойчивости конкретного движения, а не системы в целом; одни движения нелинейной системы могут быть устойчивыми, а другие ― нет.
Пусть математическая модель системы представлена в форме системы дифференциальных уравнений 1-го порядка (в форме Коши)
где х ― вектор состояния; f ― вектор-функция (нелинейная).
Решения системы (5.23) х*(t, х0), при конкретных начальных условиях х0 = х(0), следуя Ляпунову1, называют невозмущенным движением. Выбор движения, принимаемого за невозмущенное, произволен. В частности, если начальным условиям х0 соответствует положение равновесия, то оно и будет невозмущенным движением. Всякое другое решение дифференциальных уравнений х(t, х0+х0) при иных начальных условиях х0+х0 называется возмущенным. Вариация движения – это разность между возмущенным и невозмущенным движениями: х(t) = х(t, х0+х0) – х*(t, х0).
Невозмущенное
движение называется устойчивым, если
для любого
> 0 найдется такое (),
что из
для всех
t >
T следует:
(знак
означает
норму вектора).
Если в качестве невозмущенного движения принять состояние равновесия системы, то определение устойчивости можно интерпретировать так. Положение равновесия называется устойчивым, если, задав вокруг точки равновесия любую сколь угодно малую область , можно найти такую область (), что помещенная в момент времени t = 0 в любую точку этой области изображающая точка в момент времени t = T войдет в область и далее из нее не выйдет.
Асимптотическая
устойчивость означает,
что
т. е. возмущенные
движения асимптотически стремятся к
невозмущенному,
в частности, при t
приходят
в состояние равновесия.
Устойчивость по Ляпунову ― понятие качественное (теоретическое), поскольку не оговариваются размеры области невозмущенного движения; здесь говорят об устойчивости “в малом”. Устойчивость “в большом” ― понятие количественное (практическое), когда указываются границы области притяжения. В том случае, когда область совпадает со всем пространством состояний, невозмущенное движение будет устойчивым “в целом”.
Линейная система имеет единственное положение равновесия; если оно устойчиво, то устойчиво “в целом”. Разумеется, остается вопрос о том, насколько линейная модель адекватно описывает реакцию системы “в целом”.
5.3.1 Первый метод Ляпунова
Первый метод Ляпунова применяется для исследования устойчивости нелинейной системы по линеаризованным уравнениям для малых вариаций переменных.
Применение метода к дифференциальным уравнениям в форме Коши
Пусть динамическая система описывается уравнениями (5.23). Обозначим через х* вектор координат исследуемого положения равновесия, т. е. решение системы уравнений при f(х) = 0. Положим, что функции f допускают разложение в степенной ряд в точке х*. Пренебрегая малыми высшего порядка по сравнению с вариациями х, получим вместо уравнений (5.23) линеаризованную систему
x=x*
где A ― матрица первых производных нелинейных функций (матрица Якоби), вычисляемых в точке равновесия х = х*.
Первый метод Ляпунова базируется на том, что об устойчивости положения равновесия нелинейной системы в “малом” можно судить по результатам анализа линеаризованной системы:
если все собственные значения матрицы А имеют отрицательные действительные части, т. е. линеаризованная система устойчива, то положение равновесия устойчиво
если линеаризованная система неустойчива, то положение равновесия неустойчиво.
Первый метод Ляпунова применяется очень часто. Однако он имеет следующие недостатки:
исследуется только устойчивость “в малом”;
метод применим только для систем, линеаризуемых в окрестности положений равновесия.
Исследование устойчивости по дифференциальным уравнениям n-го порядка
Дано дифференциальное уравнение
a
0y(n)
+ a1y(n-1)
+ a2y(n-2)
+ ...+ any
= 0,
которое приводится к виду
Ф
(y,
y’,…,
y(n))
= 0.
Положения равновесия являются действительными решениями уравнения статики Ф(y, 0,…, 0) = 0, полученного из исходного уравнения приравниванием производных нулю. Выбирается исследуемое положение равновесия y*, и левая часть исходного уравнения раскладывается в степенной ряд при условии, что функция аналитична в его окрестности:
Полагая, что отклонения переменной y и ее производных малы, можно пренебречь в разложении малыми высших порядков. В результате получится линейное дифференциальное уравнение
коэффициенты которого равны значениям частных производных функции в точке равновесия.
Положение равновесия исходной нелинейной системы устойчиво, если все корни характеристического уравнения Q(p) = a0pn + … + an-1p + an = 0 имеют отрицательные действительные части.
Пример.
Исследуем устойчивость положения равновесия осциллятора Ван дер Поля, описываемого дифференциальным уравнением второго порядка:
Ф(y, y’, y”) = y” – (1 – y2)y’ + y = 0.
Система имеет единственное положение равновесия y* = y’ = y” = 0. Линеаризованное для малых отклонений уравнение запишется так:
Характеристическое уравнение Q(p) = p2 – p + 1 = 0 имеет следующие корни
Положение равновесия не устойчиво, если > 0. При значении 2 на фазовой плоскости в начале координат имеется особая точка типа “неустойчивый узел”. При значениях 0 < < 2 там же будем иметь особую точку типа “неустойчивый фокус”. Фазовый портрет осциллятора Ван дер Поля (рис. 5.16) имеет устойчивый предельный цикл, которому соответствуют автоколебания.
Рис.. 5.16. Фазовый портрет осциллятора Ван дер Поля (0 < < 2)
В заключение отметим, что в случае нескольких положений равновесия их устойчивость исследуется поочередно.