4.2.2 Дискретные алгоритмы управления и дискретная коррекция

При непрерывном управлении реализация алгоритма управления и корректирующих средств осуществляется за счет введения в систему дополнительных устройств: тахогенераторов, интегрирующих приводов, R-, L-, С-цепей и т. п. В цифровых системах, как алгоритмы управления, так и корректирующие средства реализуются программным путем в виде вычислительной процедуры, организованной в соответствии с разностным уравнением

a₀u(n+k) + a₁u(n+k–1) + …+ a_ku(n) = b₀е(n+m) + …+ b_mе(n).

Это разностное уравнение может быть физически реализовано, если для вычисления значения управляющего воздействия в момент времени t = nТ, т. е. u(n), не требуются будущие значения ошибки, т. е. е(n+1), е(n+2), ... . Нетрудно убедиться, что это условие выполняется, если m  k. Применительно к передаточной функции компьютера условие физической реализуемости выполняется, если степень полинома ее числителя не превышает степени полинома знаменателя.

П ри осуществлении дискретной коррекции желаемая передаточная функция D(z) может быть найдена следующим образом. Если известна передаточная функция исходной нескорректированной системы W₀(z), а в процессе решения задачи синтеза определена желаемая передаточная функция разомкнутой системы W(z) = D(z)W₀(z), то передаточная функция дискретного корректирующего устройства равна

D(z) = W(z)/W₀(z).

Если известна желаемая передаточная функция замкнутой системы G(z), то получаем

В табл. 4.2 приведены некоторые дискретные алгоритмы и передаточные функции D(z).

Таблица 4.2

Управление	Непрерывный алгоритм	Дискретный алгоритм	ПФ
по отклонению	u = k1x	u(n) = k1x(n)	k1
по производной от отклонения
по отклонению и производной
по интегралу от отклонения	u = k3xdt	(метод Эйлера)
		(метод трапеций)
изодромное	u = k1x + k3xdt

4.2.3 Цифровые модели непрерывных систем

Прямое Z-преобразование передаточной функции непрерывной системы, а точнее, Z-преобразование переходной функции непрерывной системы, как правило, приводит к громоздким вычислениям, а при неизвестных полюсах передаточной функции к тому же точных решений не имеет. Существует несколько приближенных методов построения цифровых моделей. В большинстве своем эти методы основаны на разложении аргумента Z-преобразования в ряды. Здесь рассмотрим три приема: метод прямой разности, метод обратной разности и метод билинейного преобразования.

Метод прямой разности. Выделяя в обычном разложении аргумента

линейное приближение z  1 + pT, найдем p  (z – 1)/T.

Используя эту подстановку, из передаточной функции непрерывной системы G_н(p) получают цифровую модель G(z) = G_н((z – 1)/T).

Этот прием получил название метода прямой разности, а в численных методах он известен как метод прямоугольников с упреждением.

Метод обратной разности. Рассмотрим разложение

Первое приближение его составляет z  1/(1 – pT). Отсюда следует, что подстановка p  (z – 1)/zT приводит к цифровой модели по методу обратной разности, известному также как метод прямоугольников.

Метод билинейного преобразования. Используем представление аргумента z рядом

Выделяя здесь вновь первое приближение, получим

откуда следует очередная z-форма или билинейная подстановка .

Использование билинейной подстановки дает цифровую модель по методу билинейного преобразования, известному также как метод трапеций.

Итак, цифровая модель часто позволяет значительно упростить исследование непрерывной системы и вместо дифференциальных уравнений перейти к разностным. Важным вопросом цифрового моделирования является выбор периода квантования, так как он является определяющим в проблеме эквивалентности непрерывной системы и ее цифровой модели. Условия эквивалентности системы и ее модели зависят от выбора критерия эквивалентности. Так, если критерием эквивалентности принять требование устойчивости исходной системы и ее цифровой модели, то в большинстве случаев можно ограничиться условием Котельникова

Т <  / ₀,

где Т – период квантования, ₀ – собственная частота системы.

Требования к периоду квантования значительно ужесточаются, если критерием эквивалентности служит точность исходной системы и ее цифровой модели. Оценка ошибки е цифрового моделирования по методу прямой и обратной разности имеет вид е < ТA(0)/2, а по методу билинейного преобразования е < ²Т²A(0)(М–1)/12, где  – круговая частота воспроизводимого сигнала, М – колебательность системы, А(0) – начальное значение модуля частотной характеристики.

Приведенные оценки позволяют обоснованно выбрать период квантования цифровых моделей.