4.1.10 Оценка качества импульсной системы управления

Качество импульсной системы регулирования определяют устойчивость, точность и быстродействие системы. Оценить эти характеристики можно по кривой переходного процесса, коэффициентам ошибок, частотным характеристикам. Переходный процесс позволяет судить об устойчивости, быстродействии и точности отработки постоянных входных сигналов, коэффициенты ошибок – о точности отработки полиномиальных сигналов, частотные характеристики – о точности отработки гармонических сигналов.

Кривая переходного процесса описывает выходной сигнал системы, когда на ее вход при нулевых начальных условиях подается единичное входное воздействие. В импульсных системах – это единичная решетчатая функция. Кривая переходного процесса может быть снята экспериментально или определена аналитически.

Пример. Построение переходного процесса в системе, где непрерывная часть является идеальным интегрирующим звеном с передаточной функцией G₀(p) = k/p, а формирующее звено – экстраполятором нулевого порядка H₀(z, p) = (z–1)/zp (рис. 4.19).

Рис. 4.19. Импульсная система

Дискретные передаточные функции разомкнутой и замкнутой системы имеют следующий вид

Изображение единичной ступенчатой функции X(z) = Z[1(t)] = z/(z–1), изображение выходной величины

Переходный процесс, т. е. значения выходной величины у(nT) в дискретные моменты времени, соответствующие n = 0, 1, 2, …, можно определить, разложив полученное выражение в ряд Лорана или воспользовавшись таблицами Z-преобразования.

Напомним, что ряд Лорана, т. е. разложение Y(z) по отрицательным степеням z, можно выполнить, разделив числитель на знаменатель. Например, при kТ = 1,4 получим:

1 ,4z z²–0,6z-0,4

1 ,4/z+0,84/z²+1,064/z³+0,9744/z⁴+… 1,4z–0,84–0,56/z

0,84+0,56/z

0,84–0,504/z–0,336/z²

1 ,064/z+0,336/z²

1 ,064/z–0,6384/z²+0,4256/z³

0,9744/z²–0,4256/z³

Таким образом, y(0) = 0; y(1) = 1,4; y(2) = 0,84; y(3) = 1,064; y(4) = 0,9744 и т. д.

Н

h

а рисунке 4.20 изображен соответствующий процесс (kТ = 1,4). Другие графики (kТ = 1,0; 0,5) построим с помощью обратного Z-преобразования.

0 1 2 3 4 n

1

Р

kT=0,5

ис. 4.20. Переходный процесс

Разложим выражение на элементарные дроби:

В частности, при kТ = 0,5 имеем: y(0) = 0; y(1) = 0,5; y(2) = 0,75; y(3) = 0,875; y(4) = 0,938 и т. д. При kТ = 1,0 имеем: y(0) = 0; y(1) = 1; y(2) = 1; …

Значения выходной величины в дискретные моменты времени можно соединить прямыми линиями, соответствующими переходным характеристикам интегрирующего звена, которым является непрерывная часть системы.

Нетрудно заметить, что оптимальный процесс будет при kТ = 1,0, когда переходный процесс длится конечное время, равное одному периоду повторения. Вообще, в отличие от непрерывных систем, в дискретных системах переходный процесс может завершиться за конечное число тактов (в непрерывных системах время переходного процесса не может быть конечным). Это важная особенность дискретных систем.

Точность импульсной системы может оцениваться по коэффициентам ошибок. Аналогично непрерывным системам, начиная с некоторого момента времени, установившуюся ошибку импульсной системы управления можно представить в виде ряда где коэффициенты ошибок вычисляются по формуле

Учитывая, что

получаем

Вычислим два первых коэффициента ошибок для замкнутой системы с передаточной функцией разомкнутой части

Находим передаточную функцию по ошибке

Подстановка в это выражение z = 1 дает коэффициент с₀ = 0. Для определения коэффициента с₁ ищем первую производную

Подстановка z = 1 дает коэффициент с₁ = 1/kT.

Если на вход подобной системы поступает постоянный сигнал х[n] = 1, то установившаяся ошибка его отработки е_уст[n] = 0; для линейного входа х[n] = n – е_уст[n] = 1/kT.