4.1.6 Передаточная функция импульсной системы управления

Рассмотрим импульсную систему управления с единичной главной отрицательной обратной связью (рис. 4.9). Система содержит ИЭ в канале ошибки.

Рис. 4.9. Импульсная система управления

В случае если система рассматривается как импульсный фильтр, ее характеристики, в частности выходной решетчатый сигнал y(n), полностью определяются импульсной передаточной функцией G(z). Если же требуется определить значения непрерывного выходного сигнала y(t) в интервалах между моментами квантования t = nТ, то следует использовать смещенную решетчатую функцию y(n+) и соответственно определять модифицированное Z-преобразование приведенной весовой функции g_п(t), т. е. G(z,) = Z_[g_п(n)].

Пусть для общего случая   0 определена передаточная функция G_раз(р) непрерывной части системы, включая экстраполятор. Изображение выходной величины Y(z, ) = G_раз(z, )E(z, 0), где вид изображения ошибки E(z, 0) объясняется тем, что импульсный элемент реагирует на значения ошибки e(t) только в дискретные моменты времени t = nT ( = 0).

Так как E(z,0) = Х(z,0) – Y(z,0), то Y(z,) = G_раз(z,)[Х(z,0)–Y(z,0)].

При  = 0:

или в сокращенной форме

Если же рассматривается случай   0, то

Эта формула используется редко. Для оценки качества работы системы практически всегда могут быть использованы формулы, в которых полагается  = 0.

В случае воздействий, приложенных не ко входу импульсного элемента (например, возмущений, рис. 4.10), следует использовать выражения типа

Рисунок 4.10. Импульсная система управления с возмущениями

Отметим, что Z-преобразование произведения не равно произведению Z-преобразований:

Z[G₁(p)G₂(p)] ¹ Z[G₁(p)]Z[G₂(p)], т. е G(z) = G₁G₂(z) ¹ G₁(z)G₂(z).

Если все звенья разделены ключами, то основные правила последовательного, параллельного соединений и правило замыкания аналогичны правилам для непрерывных систем. В противном случае (если элементы не разделены ключами), это не так!!!

4.1.7 Устойчивость импульсных систем

Общее решение однородного разностного уравнения при некратных корнях характеристического уравнения может быть записано следующим образом:

у (n) = С₁z₁ⁿ + С₂z₂ⁿ + . . . + С_mz_mⁿ,

где z_i (i = 1, 2,..., m) – корни характеристического уравнения системы; С_i – произвольные постоянные, определяемые начальными условиями.

Подобно непрерывным системам, устойчивость линейных импульсных систем автоматического управления определяется по характеристическому уравнению

Q(z) = а₀z^m + а₁z^m-1 + ...+ а_m = 0

или знаменателю Q(z) передаточной функции G(z) = P(z)/Q(z) замкнутой системы. Импульсная система устойчива, если все корни характеристического уравнения Q(z) = 0 расположены внутри единичного круга (рис. 4.11), т. е. |z_i| < 1 (i = 1, 2, …, m).

Рис. 4.11. Расположение корней характеристического полинома устойчивой импульсной системы

Несмотря на наличие дискретных аналогов всех критериев устойчивости непрерывных систем, простейший способ выяснения устойчивости дискретной системы состоит в использовании в характеристическом уравнении Q(z) = 0 или в передаточной функции G(z) подстановки z = (w+1)/(1–w) с последующим применением известных критериев устойчивости непрерывных систем.

Указанная подстановка замечательна тем, что переводит внутренность единичного круга плоскости z в левую полуплоскость w. Действительно, для внутренности единичного круга имеем |z| < 1. Тогда при w = a + ib, где a = Re w, b = Im w получим из этого условия:

Таким образом, условие |z| < 1 равносильно требованию

Re w < 0.

Положив z = (w+1)/(1–w) и подставив в характеристическое уравнение, получим

a ₀(w+1)^m + a₁(w+1)^m-1(1–w ) + … + a_m-1(w+1)(1–w)^m-1 + a_m(1–w)^m= A₀w^m + A₁w^m-1 + … + A_m = 0,

где

Так как |z| < 1 при Re w < 0, то для проверки условия Re w < 0 можно воспользоваться критерием Гурвица. Например, характеристическое уравнение после подстановки z=(w+1)/(1–w) приводится к виду

Согласно критерию Гурвица условия устойчивости для системы 2-го порядка имеют вид

Пример. Исследование устойчивости движения поворотной платформы с дискретным датчиком угла поворота (рис. 4.12).

Рис. 4.12. К исследованию устойчивости поворотной платформы

Чтобы обеспечить вращение поворотной платформы с высокой точностью, используется система автоматического управления с обратной связью и датчиком угла поворота (ДОС).

У прощенная математическая модель системы имеет вид:

J = M_д;

M_д = с_мI;

rI = u – c_e .

Если ДОС непрерывный, то управляющее напряжение на двигатель при использовании пропорционально-дифференциального закона управления имеет вид u= K( + ), где  = * –  (*,  характеризуют желаемую и реальную траектории движения платформы соответственно),  = .

Структурная схема системы приведена на рис. 4.13.

Рис. 4.13. Структурная схема непрерывной системы

Исследуем устойчивость этой системы.

Передаточная функция системы имеет вид

Характеристическое уравнение

где Т_м = Jr/c_ec_м – электромеханическая постоянная времени, k = К/c_e.

По характеристическому уравнению заключаем, что непрерывная система устойчива при любых , k > 0.

Если ДОС дискретный (или устройство управления имеет дискретный характер), то управляющее напряжение будет изменяться один раз за период следования T сигналов датчика положения:

u(t) = K(p+1)(nT), nT  t < (n+1)T.

Имеем импульсную систему, структурная схема которой приведена на рис. 4.14. Выражение для импульсной передаточной функции системы:

где G_н(p) – передаточная функция непрерывной части системы

Рис. 4.14. Структурная схема импульсной системы

Получим выражение для передаточной функции G_раз(z) разомкнутой системы.

В результате выражение для G_раз(z) принимает вид:

Получим характеристическое уравнение 1 + G_раз(z) = 0:

На основе алгебраического критерия имеем следующие условия устойчивости

При T << T_м может быть получена оценка T < 2T_м/(1 + k). Чем больше общий коэффициент усиления разомкнутой цепи, тем меньше должен быть период квантования сигналов обратной связи, т. е. тем чаще должна сниматься информация о текущем состоянии.

Для уравнений высокого порядка исследование устойчивости может выполняться с помощью критерия Найквиста. Для этого используются частотные характеристики импульсных систем.