4.1.5 Передаточная функция импульсной системы

Блок-схема разомкнутой импульсной системы, содержащей импульсный элемент (ИЭ), изображена на рис. 4.7. Реальный импульсный элемент обычно рассматривают как совокупность идеального импульсного элемента (ИИЭ) и непрерывного звена (формирующего элемента ФЭ, экстраполятора). Понятие идеального импульсного элемента можно ввести по-разному.

Рис. 4.7. Блок-схема разомкнутой импульсной системы

Можно считать, что идеальный импульсный элемент генерирует решетчатую функцию с периодом Т, образованную из непрерывного значения входного сигнала х(t): x(n) = х(t)|_t=nT. Подобным образом работают, например, устройства дискретного съема информации с объектов различного вида. Далее решетчатая функция x(n) поступает на формирующее устройство, а затем сигнал с выхода экстраполятора поступает собственно на непрерывную часть системы. Задача формирующего устройства заключается в формировании реального импульса прямоугольной, трапецеидальной, треугольной и т. п. формы. Совокупность идеального импульсного элемента и экстраполятора образует реальный импульсный элемент.

Можно ввести понятие идеального импульсного элемента и иначе, считая, что он генерирует с периодом Т последовательность импульсов типа -функции, площади которых пропорциональны сигналу х(t) в моменты времени t = nT, т. е. x(n) = x(t)∙(t–nT).

Введем понятие приведенной весовой функции g_п(t), понимая под этим термином реакцию непрерывной части системы (собственно непрерывная часть плюс формирующий элемент) на единичную импульсную решетчатую функцию ₀(n), где ₀(n) = 1 при n = 0 и ₀(n) = 0 при n  0. Согласно альтернативному определению идеального импульсного элемента, можно считать, что приведенная весовая функция g_п(t) является реакцией непрерывной части системы на -импульсное входное воздействие, т. е. на сигнал (t). По определению весовой функции для непрерывных систем это означает, что введенная функция g_п(t) как раз и является весовой функцией всей непрерывной части рассматриваемой амплитудно-импульсной системы.

Если выходную величину рассматривать только в дискретные моменты времени t = nT или t = (n+)T, то система будет представлять собой импульсный фильтр. Он может характеризоваться приведенной решетчатой весовой функцией g_п(n) или смещенной решетчатой функцией g_п(n+), полученной из производящей функции g_п(t). Другими словами, приведенная решетчатая весовая функция g_п(n) – это реакция g_п(t) непрерывной системы на импульсное входное воздействие (t) в моменты времени t = nT.

Зная решетчатую весовую функцию g_п(n) или g_п(n+), можно найти реакцию импульсного фильтра на входной сигнал произвольного вида.

Произвольный входной сигнал, поступающий на вход импульсного элемента в дискретные моменты замыкания ключа, можно представить в виде решетчатой функции с ординатами x(0)∙(t), x(1)∙(t–T), x(2)∙(t–2T), … , x(m)∙(t– mT). Так как реакция непрерывной системы на сигнал (t) равна g_п(t), то ее реакция на x(0)∙(t) будет g_п(t)∙x(0), на x(1)∙(t–T) – g_п(t – T)∙x(1), на x(m)∙(t–mT) – g_п(t–mT)∙x(m). Поэтому на выходе имеем .

Таким образом, реакция импульсного фильтра, т. е. реакция непрерывной системы для дискретных моментов времени t = nT, равна

Найдем Z-преобразование от левой и правой частей последнего выражения (4.33). На основании формулы свертки где G(z)  есть Z-преобразование от приведенной решетчатой весовой функции,

С другой стороны, по определению передаточной функции, где G(z) – дискретная передаточная функция системы. Следовательно, дискретная передаточная функция может быть определена как Z-преобразование от приведенной весовой функции.

Как найти функцию g_п(t) аналитически, по характеристикам элементов системы? Так как g_п(t) является весовой функцией приведенной непрерывной системы, то она связана с передаточной функцией G_п(p) этой системы соотношениями

Итак, дискретная передаточная функция должна определяться по приведенной весовой функции непрерывной части: сначала нужно определить передаточную функцию G_п(p) всей непрерывной части, включая формирующее звено, а только потом выполнять Z-преобразование.

Рассмотрим случай, когда в качестве формирующего звена используется экстраполятор с фиксацией на период (экстраполятор нулевого порядка). В этом случае на выходе экстраполятора в течение всего такта продолжительностью T удерживается величина, равная значению сигнала в момент начала такта (рис. 4.8). Подобным образом работают компьютерные и микропроцессорные системы управления.

Рис. 4.8. Экстраполирование с фиксацией на период

Вычислим сначала изображение импульса на выходе экстраполятора

Приведенная непрерывная система включает экстраполятор с передаточной функцией F₀(p) и собственно непрерывную часть с передаточной функцией G_н(p). Передаточная функция приведенной непрерывной системы G_п(p) = F₀(p) G_н(p). Тогда дискретная передаточная функция системы с экстраполятором нулевого порядка и собственно непрерывной частью, имеющей передаточную функцию G_н(p), будет равна

Пример. Определим дискретную передаточную функцию системы с экстраполятором нулевого порядка для случая, когда непрерывная часть имеет передаточную функцию .

Имеем Разложим выражение G_н(p)/p на простые дроби:

Тогда из таблицы Z-преобразований найдем