4.1.3 Передаточная функция импульсного звена

Рассмотрим разностное уравнение в общем виде, когда правая часть зависит от значений входного сигнала не только в данный, но и в предшествующие моменты времени:

a ₀y(n+m) + a₁y(n+m–1) + …+ a_my(n) = b₀х(n+k) + …+ b_kх(n).

Перейдя в (4.24) с помощью Z-преобразования к операторной форме, с учетом нулевых начальных условий получим

Изображение искомой решетчатой функции равно

Здесь введена дискретная передаточная функция G(z), которая, как и в случае непрерывных функций, является отношением двух изображений (выходной и входной величин) при нулевых начальных условиях

Дискретная передаточная функция играет такую же роль в импульсных и цифровых системах, как и обычная передаточная функция в непрерывных системах. В частности, ПФ позволяет определить реакцию звена на заданное входное воздействие.

Пример. На звено с передаточной функцией действует входной сигнал x(n) = 1(n). Определим выходной сигнал y(n).

Z-преобразование выходного сигнала имеет вид

1) Разложение в ряд Лорана

Так как по определению Z–преобразования

т. е. y(n) – коэффициенты функции Y(z) при степенях z^–n, то коэффициенты y(n) искомой решетчатой функции можно получить разложением Y(z) в ряд Лорана, разделив числитель функции Y(z) на ее знаменатель.

z² z²–1,5z+0,5

z ²–1,5z+0,5 1+1,5/z+1,75/z²+1,875/z³…

1,5z–0,5

1,5z–2,25+0,75/z

1,75–0,75/z

1,75–2,625/z+0,875/z²

1,875/z–0,875/z²

1,875/z–2,8125/z²+0,9375/z³

… ……………………………………

Таким образом

Следовательно, y(0) = 1; y(1) = 1,5; y(2) = 1,75; … y(n) = 2 – 2^-n.

2) Использование таблиц Z-преобразования

Раскладываем Y(z) на простые дроби, для которых имеются табличные выражения обратного Z-преобразования.

3) Правило свертки

Если Y(z) = G(z)∙X(z), где G(z) = Z{g(n)}, X(z) = Z{x(n)}, то

В нашем случае x(n) = 1(n), g(n) = Z^-1{G(z)} = Z^-1{z/(z–0,5)} = (1/2)ⁿ (из таблицы).

Тогда

4.1.4 Передаточные функции типовых импульсных звеньев

1. Идеальный импульсный дифференциатор (разностный анализатор), y(n) = x(n).

Из определения прямой разности Dx(n) = x(n+1) – x(n) получаем уравнение y(n) = x(n+1) – x(n) . Переходя к операторной форме

Y(z) = zX(z) – X(z),

определяем передаточную функцию

2. Реальный импульсный дифференциатор, y(n) = x(n).

Как и в предыдущем примере, получаем

Ñx(n) = x(n) – x(n–1) Þ y(n) = x(n) – x(n–1) Þ Y(z) = X(z) – z^–1X(z)

3. Идеальный сумматор, y(n) = .

Пользуясь определением идеального сумматора, y(n) = , составим прямую разность

Dy(n) = y(n+1) – y(n) = x(n+1).

Применяя правило смещения аргумента, найдем операторную форму уравнения y(n+1) – y(n) = x(n+1)

(z–1)Y(z) = zX(z)

и передаточную функцию идеального сумматора

4. Реальный сумматор y(n) =

Реальный сумматор можно записать в виде . Тогда, используя передаточную функцию идеального сумматора, найдем

5. Сдвигающее звено

Сдвиг импульсной функции на r периодов описывается разностным уравнением y(n) = x(n ± r) и передаточной функцией