3.5.2 Синтез для случая объекта, заданного передаточной функцией

Модель объекта представлена в форме передаточной функции

Этой передаточной функции соответствует дифференциальное уравнение

Введя обозначения x = x₁, далее получим

и ли в более компактной форме

Здесь матрицы A и b уже имеют нормальную форму (3.51), т. е. A = , b = , поэтому согласно (3.52) , а согласно (3.53) . Тогда на основании (3.54) имеем

Первое из равенств (3.61) означает, что в данном случае коэффициенты передачи модального регулятора сразу же могут быть вычислены по формулам (3.49). Последнее равенство в (3.61) означает, что на выходе такого регулятора последовательно с ним должен быть включен общий для всех каналов регулятора усилитель с коэффициентом усиления равным величине (это равноценно уменьшению всех расчетных коэффициентов регулятора в раз).

Подставив (3.61) в (3.60), получаем

Для проверки решения следует, как и ранее, вычислить матрицу G = A – bk^T и определить ее характеристический полином.

Пример 2. Пусть объект представляет собой апериодическое звено второго порядка (рис. 3.23) с теми же значениями параметров. Отличие же состоит в том, что теперь доступной для управления является только одна выходная переменная объекта x₁.

Требуется определить коэффициенты k, k₁, k₂, при которых “стандартный” характеристический полином модальной САУ имел бы ранее принятый вид

Q*(p) = p² + g₁p + g₂ = p² + 6p + 9.

Рис. 3.22. Структурная схема объекта

Подобно (3.56) представим передаточную функцию объекта в следующей форме

Далее находим искомые коэффициенты

k = 1/b₀ = 1/4;

=>

Таким образом, при тех же параметрах объекта, но измеряемой только одной из его переменных получили увеличенные, по сравнению с примером 1, значения коэффициентов модальных ОС.

Проверка.

Записываем матрицы объекта в нормальной форме

;

Далее вычисляем

и тогда

Полученный полином совпадает с ранее принятым “стандартным” характеристическим полиномом Q(p), следовательно, коэффициенты k₁, k₂ определены правильно.

Для определения коэффициента усилителя k_y запишем коэффициент передачи всей системы и приравняем его к коэффициенту передачи самого объекта:

,

т. е. получили то же значение, как и в примере 1, что дополнительно подтверждает правильность вычисленных коэффициентов k, k₁, k₂.

4 Исследование дискретных систем автоматического управления

В непрерывных системах все сигналы (датчиков, преобразователей, усилителей) являются непрерывными функциями времени (рис. 4.1, а). Наряду с непрерывным способом передачи и преобразования сигналов широко применяются дискретные способы, в которых используется дискретизация сигнала. Она состоит в замене непрерывного сигнала набором дискретных значений и может быть осуществлена по времени, уровню, либо и по времени и по уровню.

Рис. 4.1. Виды сигналов: а – непрерывный, б – дискретный по времени, в – дискретный по уровню, г – дискретный по времени и по уровню

Дискретизация по времени (рис. 4.1, б) соответствует выделению значений сигнала в заранее фиксированные моменты времени. Обычно эти моменты отстоят друг от друга на постоянную величину – интервал (период) квантования по времени.

Дискретизация по уровню (рис. 4.1, в) соответствует выделению фиксированных, заранее заданных уровней. Обычно эти уровни отстоят друг от друга на постоянную величину – интервал квантования по уровню.

Дискретизация по времени и уровню (рис. 4.1, г) – выделение в заранее фиксированные моменты времени значений сигнала, ближайших к заранее фиксированным уровням.

Примеры: кинолента (квантование по времени – кадры фиксируют мгновенные события непрерывно изменяющихся явлений); АЦП (по уровню); таблицы функций (квантование по времени и уровню – аргументы изменяются дискретно, функции вычисляются округленно с выбранным количеством знаков); ЭВМ (квантование по времени и уровню определяют тактовая частота и разрядность процессора).

В зависимости от типа квантования выделяют 3 вида систем:

• импульсные АС, если хотя бы одна из величин квантуется по времени;

• релейные АС – имеется квантование по уровню (релейные системы можно рассматривать как непрерывные системы с нелинейностью релейного типа);

• цифровые АС – квантование и по времени и по уровню.

Дискретные автоматические системы широко распространены благодаря сравнительной простоте реализации, малому потреблению энергии для управления и высокой точности. Дискретное управление используется в нагревательных приборах, холодильниках, кондиционерах, телевизионных системах, системах электропривода, импульсных генераторах и т. д.

Помимо простоты, точности и экономичности имеются и другие причины применения дискретных систем. Прежде всего, дискретной является система, в которой объект управления имеет дискретную физическую природу. Например, в механике дискретными объектами являются устройства прерывистого вращения: мальтийские и храповые механизмы. Другой пример – шаговые двигатели.

Большинство систем автоматического контроля технологических процессов имеют дискретный характер функционирования; они действуют в короткие промежутки времени, чтобы контроль не останавливал производство и не ухудшал качество продукции. Многие информационные процессы носят дискретный характер. Например, при интерполяции в станках с ЧПУ по известным опорным точкам вычисляются координаты промежуточных, а при экстраполяции – координаты упрежденных точек. Подобные преобразования реализуют специальные устройства: интерполяторы и экстраполяторы. В численных методах используется дискретизация во времени или в пространстве (дифференцирование, интегрирование, метод конечных элементов и др.).

На практике встречаются задачи, которые не имеют решения в классе непрерывных систем, но могут быть решены в классе дискретных систем. Одной из таких задач является управляемая фильтрация, которая состоит в автоподстройке колебательного контура приемника на плавающую частоту радиопередатчика.

Еще одна важная причина применения дискретных регуляторов связана с особенностями непрерывных объектов. Многие технологические процессы протекают медленно, инерционность технологических объектов может на порядки превышать инерционность регуляторов. В этом случае целесообразно ограничивать управление малыми интервалами времени, как это имеет место, например, в управлении курсом корабля. Слишком частая перекладка руля, не повышая существенно точность ведения по курсу, значительно увеличивает потери энергии за счет "рыскания". По той же причине используется импульсное управление при перемещении космических объектов и станций. Для их перемещения используют кратковременный импульс силы в нужном направлении, а по достижении цели такой же импульс в противоположном направлении.

В заключение приведем, наверное, самый важный довод: во всех случаях, когда для управления технологическим процессом используются микропроцессоры, программируемые контроллеры или компьютеры, система управления становится дискретной и необходимо оценить влияние квантования.