3.5 Синтез модального регулятора

Название «модальное управление» объясняется используемым в зарубежной литературе термином «мода» для обозначения отдельных составляющих свободного движения. Суть модального управления состоит в определении значений коэффициентов передачи безынерционных обратных связей по всем переменным состояния объекта (u = –kx) с целью обеспечения заданного распределения корней характеристического уравнения замкнутой САУ.

Корни характеристического уравнения САУ полностью определяют устойчивость линейной системы. В свою очередь, корни однозначно зависят от коэффициентов уравнения, поэтому модальное управление можно трактовать как целенаправленное изменение коэффициентов характеристического уравнения объекта с помощью безынерционных ОС.

Из литературы известны стандартные виды характеристических полиномов 1-8 порядков и соответствующие им графики переходных процессов с указанными на них показателями качества (биномиальные полиномы Ньютона, полиномы Баттерворта и др.). Исходя из порядка объекта и заданных в техническом задании показателей качества САУ, можно выбрать требуемый график переходного процесса и соответствующий ему «стандартный» характеристический полином, а затем выполнить синтез модальных ОС, обеспечивающих заданные показатели качества САУ. Таким образом, теория модального управления позволяет осуществлять синтез многоконтурных замкнутых САУ с заранее заданными показателями качества.

Основные достоинства модального управления:

1. Синтезированная модальная САУ не требует проверки на устойчивость (так как она заранее должна быть устойчивой и обладать требуемыми запасами устойчивости).

2. Синтезированная модальная САУ не требует введения дополнительных корректирующих устройств (так как она сама уже удовлетворяет требуемым показателям качества).

3. Введение модальных ОС, в силу их безынерционности, не повышает порядок объекта и не нарушает его управляемость и наблюдаемость (что может произойти при введении пассивных инерционных корректирующих устройств).

4. Техническая реализация модальных САУ осуществляется относительно просто и экономично с помощью маломощных измерительно-преобразовательных устройств и электронных усилителей.

Рассмотрим методику синтеза модальных регуляторов.

3.5.1 Синтез для случая полностью управляемого объекта с одним входом

Уравнение полностью управляемого объекта с одним входом имеет вид:

, .

Требуется определить коэффициенты передачи модального регулятора

,

при которых замкнутая САУ имела бы желаемый «стандартный» характеристический полином

Q*(p) = pⁿ + g₁p^n-1 + … + g_n-₁p + g_n.

1. Определяем характеристический полином Q(p) матрицы A

Q (p) = |pE – A|  pⁿ + q₁p^n-1 + … + q_n-₁p + q_n.

2. Вычисляем коэффициенты передачи регулятора в каноническом базисе, которые записываются в виде вектор-строки

Элементы вектора определяются как разности соответствующих коэффициентов желаемого характеристического полинома Q*(p) и характеристического полинома Q(p) матрицы A:

3. Составляем матрицу управляемости R в исходном базисе

.

4. Для полинома Q(p) составляем каноническую пару

5. Составляем матрицу управляемости в каноническом базисе

.

6. Вычисляем матрицу преобразования P

7. Вычисляем вектор-строку коэффициентов передачи регулятора в исходном базисе k^T

Д ля проверки полученного решения задачи целесообразно вычислить матрицу G = A – bk^T и определить ее характеристический полином

Совпадение коэффициентов этого полинома с соответствующими коэффициентами желаемого полинома (3.47) указывает на правильность решения задачи.

Указанный алгоритм легко реализуется для вычислений на компьютере на базе стандартных программ матричной алгебры.

Пример 1. Заданы структурная схема и параметры объекта (рис. 3.22).

Рис. 3.22. Структурная схема объекта

Корни характеристического уравнения данного объекта p₁ = –1/T₁ = –2; p₂ = –1/T₂ = –1, следовательно, степень его устойчивости η = 1. Требуется определить коэффициенты обратных модальных связей k₁, k₂, обеспечивающие желаемые значения корней p₁ = p₂ = –3 и соответствующую им степень устойчивости η = 3 замкнутой системы.

Уравнения звеньев объекта

Отсюда

при этом матрицы A и b уравнения (3.45) имеют вид

Далее действуем согласно приведенному выше алгоритму.

1. Определяем согласно (3.48) характеристический полином Q(p) матрицы A

Q(p) = |pE – A| =  q₁ = 3, q₂ =2.

2. Определяем согласно (3.47) желаемый характеристический полином Q*(p)

Q*(p) = (p – p₁)(p – p₂) = (p + 3)(p + 3) =p² + 6p + 9  g₁ = 6, g₂ =9.

3. Вычисляем коэффициенты передачи регулятора в каноническом базисе согласно (3.49)

.

4. Составляем матрицу управляемости R в исходном базисе согласно (3.50)

.

5. Для полинома Q(p) составляем каноническую пару согласно (3.51)

6. Составляем матрицу управляемости в каноническом базисе согласно (3.52)

7. Вычисляем матрицу преобразования P согласно (3.53)

8. Вычисляем вектор-строку коэффициентов передачи регулятора в исходном базисе k^T согласно (3.54)

Итак, k₁ = 0,25; k₂ = 1,5.

Выполним проверку. Согласно (3.55) вычисляем G = A – bk^T

Тогда

Полученный характеристический полином замкнутой модальной системы совпадает с указанным ранее желаемым полиномом Q*(p), следовательно, коэффициенты k₁, k₂ определены правильно.

Безынерционные модальные обратные связи изменяют общий коэффициент передачи системы и тем самым влияют на установившееся значение выходной переменной объекта. Чтобы исключить такое влияние, достаточно на входе системы (рис. 3.22) установить безынерционный усилитель, коэффициент усиления k_y которого определяется из условия равенства коэффициента усиления K замкнутой модальной САУ и коэффициента усиления k₀ самого объекта: