3.4.5 Графо-аналитический синтез пид-регулятора

Алгоритм синтеза ПИД-регулятора включает следующие шаги.

1. Строятся логарифмические частотные характеристики объекта L() и () (рис. 3.16).

Рис. 3.16. Логарифмические частотные характеристики объекта

На оси ординат графика L() отмечается уровень (–А), на оси ординат графика () – уровень (_гр + ). Конкретные значения граничного уровня _гр = –  2n и знака  определяются по виду графика () и желаемой характеристики _ж().

2 . Вводится понятие частоты запаса _з желаемого разомкнутого контура согласно условиям:

L_ж(_з) = –А, _ж(_з) = _гр+.

Для получения в замкнутой системе максимального быстродействия при сохранении запасов устойчивости эту частоту следует выбирать как можно большей.

С учетом подъема фазы, обусловленного дифференциальной составляющей регулятора на частотах   10 _д практически на /2, нужную частоту ищут в точке пересечения графика () с уровнем _гр +  – /2, т. е. выбирают _з из условия

 (_з) = _гр +  – /2.

3

L



L



-A

_з

_з

-/2





. В зависимости от существования этого решения выбирают частоту сопряжения _д и постоянную времени Т_д дифференциального канала:

• если частота запаса _з существует, то принимают _д  0,1_з 

Т _д  10/_з.

• если фазо-частотная характеристика объекта () не достигает уровня _гр +  – /2, то дифференциальный канал регулятора не обязателен (Т_д = 0).

4. Строим частотные характеристики с учетом дифференциального канала (рис. 3.17)

последовательного соединения объекта G(p) с форсирующим звеном (1+Т_др) и визуально контролируем, чтобы фазовая характеристика _д() не входила в запретную зону (_гр + ; _гр) левее частоты _з. Если запас по фазе потерян, то следует интерактивно подбирать параметр _д (Т_д) в окрестности значения _д  0,1_з (Т_д  10/_з) до его восстановления.

Рис. 3.17. Логарифмические частотные характеристики объекта с дифференцирующим (форсирующим) звеном

5

L

L_д

L





_д

_д





_д

. Вычислив разность уровня запаса –А и амплитуды L_д(_з) , определяем значение Затем строим характеристику (рис. 3.18)

.

K

Рис. 3.18. Логарифмические частотные характеристики объекта с форсирующим звеном и

L

L_д

L_к

_д

усилителем

6. Теперь оценим значение частоты сопряжения изодромного звена _и. С одной стороны, при значении частоты равном _д, отрицательный фазовый сдвиг, вносимый изодромным звеном, должен уже закончиться, чтобы не нарушить запасы устойчивости, обеспечиваемые выбором _д (или, что то же самое Т_д), и, следовательно, должно быть _и  _д = _з/10. С другой стороны, чем выше _и, тем выше общий коэффициент усиления регулятора, а значит и разомкнутой системы в целом, что ведет к повышению точности замкнутой системы с регулятором (_и увеличивается с ростом К_и). Таким образом, для достижения минимальной ошибки (коэффициента ошибки с_n) частота _и должна располагаться как можно правее, не превышая, однако, частоты _д. Отсюда получаем условие выбора постоянной времени интегрального канала:

С учетом подобного выбора можно оценить значение желаемой ЛАХ на частоте запаса

Итак, К_и  КТ_и, кроме того К_п = К_и(Т_и + Т_д), К_д = К_иТ_иТ_д, что позволяет вычислить коэффициенты усиления прямого, интегрального и дифференциального каналов ПИД-регулятора.

Если передаточная функция объекта уже обладает нужным порядком астатизма, то интегральный канал регулятора не обязателен, чему соответствует следующий выбор коэффициентов регулятора: К_п считаем по описанной выше методике для К_и, вычисляем К_д = К_пТ_д (ну а К_и = 0 – интегральный канал отсутствует).

7. В результате выполненных расчетов получены все коэффициенты усиления каналов ПИД-регулятора. На заключительной стадии синтеза необходимо провести тестирование частотных и временных свойств замкнутой системы управления:

•

-20lg c₁

построив частотные характеристики желаемого разомкнутого контура (рис. 3.19), в

L

L

L_д

L_ж

L_к



_д

_и

_и

_ж





_д



изуально контролируем, чтобы фазовая характеристика не входила в запретную зону на частотах, где L_ж() > –А. Если запас по фазе не обеспечивается, то следует интерактивно подобрать частоты сопряжений _д и _и, не забывая проверять, чтобы амплитуда L_ж(_з) не превышала уровня запаса –А;

Рис. 3.19 – Логарифмические частотные характеристики желаемой системы

• продолжив низкочастотную асимптоту желаемой логарифмической амплитудно-частотной характеристики L_ж() до пересечения с осью L, получим отсчет –20nlgc_n, по которому находим оценку коэффициента ошибки c_n. Если оценка не удовлетворяет желаемым требованиям по точности, то можно поднять низкочастотную ветвь амплитудной характеристики путем сдвига вправо частоты сопряжения _и, что равносильно увеличению коэффициента К_и и уменьшению постоянной времени Т_и при условии постоянства произведения К_иТ_и;

• построив график переходной характеристики замкнутой системы

необходимо убедиться в его устойчивости, сходимости к установившемуся значению h_з = 1, определить время переходного процесса t_пп и перерегулирование . Полученные показатели переходной характеристики сравниваются с желаемыми значениями и в случае неудовлетворенности разработчика качеством движения интерактивный процесс подбора параметров ПИД-регулятора повторяется.

Пример. Для объекта с передаточной функцией

рассчитать ПИД-регулятор, создающий в замкнутой системе астатизм первого порядка с минимальными значениями коэффициента скоростной ошибки с₁, времени переходного процесса t_пп и запасами устойчивости по амплитуде А  6 дБ и фазе   /4.

Следуя изложенному алгоритму, выполняем следующие действия.

1. Строим логарифмические частотные характеристики объекта (рис. 3.20):

а на осях ординат отмечаем уровни запасов по амплитуде –А и фазе . Судя по интервалу монотонного уменьшения фазовой характеристики с 0 до –3/2 и с учетом ее будущего подъема регулятором на высоких частотах на /2, следует выбрать граничный уровень фазы _гр+ = –3/4.

Рис. 3.20. Логарифмические частотные характеристики объекта (1), с дифференциальным звеном (3), с усилителем (4) и желаемой системы (5)

2. Проводим уровень фазы _гр +  – /2 = –5/4 и по условию

_з: (_з) = _гр +  – /2

определяем частоту запаса желаемого разомкнутого контура _з = 10 1/с.

3. Выбираем по оценкам _д  0,1_з, Т_д  10/_з параметры дифференциального канала регулятора: частоту сопряжения _д =1 1/с и постоянную времени Т_д =1 с.

4. Строим по формулам

частотные характеристики L_д() и _д() последовательного соединения объекта G(p) с форсирующим звеном регулятора 1+Т_др = p+1.

5. Определяем отклонение амплитуды L_д(_з) от уровня запаса –А: и по формуле вычисляем коэффициент К: L = 25 дБ  К = 17,8.

6. С учетом фазового сдвига от –/2 до 0, вносимого изодромным звеном в диапазоне частот   10 _и, из условия с небольшим запасом выбираем параметры интегрального канала регулятора: частоту сопряжения _и = 0,5 1/с и постоянную времени Т_и = 2 с. Тогда по соотношениям К_и  КТ_и, получаем коэффициенты усиления прямого, интегрального и дифференциального каналов ПИД-регулятора: К_и = 8,8; К_п = 26,4; К_д = 17,6.

7. В результате проведенных графических расчетов получена передаточная функция ПИД-регулятора:

Построив частотные характеристики желаемой разомкнутой системы

убеждаемся в наличии желаемых запасов устойчивости А и .

Продолжение низкочастотной части характеристики L_ж() отсекает на оси ординат при  = 1 значение –20lgc₁  64 дБ (c₁ = 1/К), из чего заключаем, что коэффициент скоростной ошибки составляет c₁ < 0,001 с.

Сформировав передаточную функцию желаемой разомкнутой системы

G_ж(p) = G(p)∙R(p),

построим переходную характеристику замкнутой системы (рис. 3.21) и определим ее показатели качества t_пп = 1,05 с и  = 31,1 %.

Рис. 3.21. Переходная характеристика желаемой системы

В современных цифровых системах управления вместо непрерывного ПИД-управления, вырабатываемого аналоговой схемой, реализуется алгоритм вычисления управляющих воздействий x_k = x(t_k) в дискретные отсчеты времени t_k с помощью микропроцессорного контроллера. В первом приближении, т. е. без попыток какой-либо оптимизации численного интегрирования и дифференцирования, закон дискретного управления записывается в следующем виде