2.6 Управляемость и наблюдаемость объектов

Управляемость и наблюдаемость являются такими же важными свойствами объектов, как и их устойчивость. Термин управляемость означает возможность перевода объекта из любого начального состояния (режима работы) X(t₀) = X₀ в любое конечное состояние X(t_к) = X_к за конечное время путем приложения допустимого управления U(t). Объект, обладающий указанным свойством, называется полностью управляемым. Оценка управляемости должна выполняться перед тем, как переходить к оптимизации управляемой системы. Дело в том, что для не полностью управляемого объекта такая задача может оказаться неразрешимой.

Термин наблюдаемость означает возможность определения начального состояния объекта X₀ по результатам наблюдений за его выходом Y(t) на конечном интервале . Объект, обладающий таким свойством, называется полностью наблюдаемым. Оценка наблюдаемости объекта должна предшествовать постановке задачи его идентификации, так как не полностью наблюдаемый объект не может быть идентифицирован.

Итак, управляемость объекта означает возможность достижения его любого состояния, а наблюдаемость – возможность определения состояния в любой момент.

Для оценки управляемости и наблюдаемости используются уравнения состояния и уравнение выхода объекта в их векторно-матричной форме

где X – вектор-столбец переменных состояния [1n]; Y – вектор-столбец выходных переменных [1q], q  n; U – вектор-столбец управлений [1 m], m  n; – постоянные матрицы коэффициентов.

Система описывается n переменными состояния, q выходными переменными и m управляющими переменными.

2.6.1 Управляемость объекта

Если объект полностью управляем, то всегда найдется такое допустимое управление, которое за конечное время обеспечит перевод объекта из любого начального состояния в любое заданное конечное состояние. Оценка управляемости осуществляется на основе критерия Р. Калмана, согласно которому для полной управляемости объекта необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

. (2.67)

Ранг составной матрицы должен равняться порядку системы. Составная матрица имеет n строк и nm столбцов: первые m столбцов – это столбцы матрицы B, следующие m столбцов  столбцы матрицы AB, затем  матрицы A²B и т. д.; последние m столбцов, с (nmm+1)-го по (nm)-ый – столбцы матрицы A^n-1B.

Ранг матрицы определяется наивысшим из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля. Так как в рассматриваемой матрице n строк, то проверке подлежат все миноры n–го порядка, которые из нее можно составить (взяв любые n столбцов). Если хотя бы один из таких определителей не будет равен нулю, то критерий Калмана (2.67) выполняется и, следовательно, объект полностью управляем.

В частном случае, когда m = 1 (B = b – столбец размерностью n1), проверка сводится к вычислению единственного определителя .

Пример. Исследуем управляемость объекта в системе двигатель–редуктор–нагрузка.

Математическая модель этой системы была получена ранее:

Запишем уравнения динамики в форме Коши:

Входом системы является напряжение , подаваемое на двигатель, выходом – угловое положение вала нагрузки Величина является возмущением (момент нагрузки).

Запишем уравнения модели в матричном и стандартном видах

где

Найдем определитель блочной матрицы . В нашем случае n = 2, m = 1 (две переменные состояния и один управляющий сигнал).

.

Блочная матрица принимает вид :

.

Ее определитель не равен нулю и, значит, ранг этой матрицы равен 2. Критерий Калмана выполняется, рассматриваемая система является полностью управляемой. За счет выбора управляющего сигнала можно обеспечить любые значения угла поворота и угловой скорости _д =  вала двигателя.

Отметим, что в некоторых случаях проверка критерия Калмана упрощается: в случае, когда матрица А объекта имеет каноническую диагональную форму (2.68) или каноническую жорданову форму (2.69), а также при известном ранге матрицы B.

Если матрица А объекта имеет каноническую диагональную форму (2.68), то согласно критерию Е. Гильберта для полной управляемости такого объекта необходимо и достаточно, чтобы матрица В не содержала нулевых строк.

где ₁  ₂  …  _n.

Если матрица A объекта имеет каноническую жорданову форму (2.69), то для полной управляемости такого объекта необходимо и достаточно, чтобы последняя строка матрицы B была ненулевой.

Наконец, если модель объекта может быть представлена в нормальной форме, когда в качестве переменных состояния выбираются сама управляемая величина y и n–1 ее производных, то такой объект полностью управляем.

В этом случае

На практике для исследования управляемости ранги обычно не считают, а используют компьютерные программы. В частности, в MATLAB функция ctrb собирает аргумент B, AB, A²B, …, а функция rank считает определитель: rank(ctrb(A,B)).

Управляемость по выходу

Если критерий полной управляемости объекта позволяет судить о достижении его любого состояния, т. е. любого вектора Х (переменных состояния), то управляемость по выходу означает возможность получения любого вектора Y (выхода).

К ритерий полной управляемости по выходу в общем случае имеет вид

где q – число выходных переменных объекта (или число строк матрицы C).

Для примера с двигателем имеем:

y =   q = 1.

Определитель не равен нулю, ранг равен единице. Критерий полной управляемости по выходу выполнен. Следовательно, за счет выбора управляющего сигнала можно обеспечить любые значения выхода (углового положения нагрузки).