2.5.3 Точность при периодических воздействиях

В случае полиномиальных воздействий x(t), n(t) точность САУ в установившемся режиме определяется коэффициентами ошибок. Такой путь неприемлем в случае периодических воздействий x(t), n(t) (рис. 2.51).

Рис. 2.51. Периодическое воздействие и его частотный спектр

В этом случае число членов ряда в разложении

e_уст(t) = c₀x(t) + c₁x⁽¹⁾(t) + ... + c_mx^(m)(t) + d₀n(t) + ... + d_ln^(l)(t)

должно было бы быть бесконечным, так как задающий (и/или возмущающий) сигнал не является медленно меняющимся (для медленно меняющегося сигнала все производные по времени, начиная с некоторого номера, равны нулю).

Если сигнал x(t) – периодический, т. е. x(t+T) = x(t), где T – период, то он может быть представлен в виде ряда Фурье

x (t) =  A_k sin(_kt+_k), _k = 2k/T.

Периодический сигнал характеризуется спектром. Спектр – совокупность гармонических колебаний, на которые может быть разложено данное сложное колебательное движение. Составляющие спектра  обертоны (гармоники). Для периодического сигнала спектр включает обертоны с частотами, кратными основной частоте  =2/T. Если ввести величину А² =1/T x²(t)dt, то А² – есть средняя мощность на периоде, А² = А_k², А_k² – характеризуют распределение мощности по частотам.

G_e/x(p)

A_ksin(_kt+_k)

A_k |G_e/x(i_k)| sin(_kt+_k+_k)

Ошибка по полезному сигналу

e _x(t) = [1  G_y/x(p)]x(t) = G_e/x(p)x(t), x(t) = A_k sin(_kt+_k).

Согласно принципу суперпозиции, выходной сигнал e_x(t) можно рассматривать как сумму реакций на каждую из отдельных составляющих входного сигнала:

e _x(t) = A_k G_e/x(i_k)sin(_kt + _k + arg{G_e/x(i_k)}).

Для анализа точности по полезному сигналу нужно знать АЧХ (амплитудно-частотную характеристику) и спектр сигналов. Сопоставление спектра и АЧХ позволяет оценить точность (рис. 2.52).

Рис. 2.52. Сопоставление АЧХ и частотного спектра воздействий

П роанализируем, при каких условиях система имеет высокие точностные показатели.

L()=20lg |G_раз(i)|

e _x(t) =  A_k /1+ G_раз(i_k) x(t)

_ср 

ч астота среза _c: L_раз(_c) = 0.

П ри  << _c : L_раз() >> 0, т. е. A₀ A₁

G_раз(i)>> 1. A_k

 

На практике всегда можно выделить полосу частот, где x(t) существенно зависит от , т. е. при  > ⁺: A_i  0 (спектр ограничен). ⁺ определяет полосу частот, существенных для сигнала x(t). Чтобы обеспечить точность отработки полезного сигнала, необходимо выполнить условие:

 _с >> ⁺.

Таким образом, полоса пропускания (_c) должна быть достаточно большой, чтобы пропустить на выход (не отфильтровать) все существенные гармоники полезного сигнала. Чем шире полоса пропускания (чем больше частота среза), тем больше составляющих «пройдут» на выход без искажения (и тем меньше будет ошибка отработки полезного, задающего воздействия).

«Вспомним» теперь о том, что кроме полезного сигнала в системе действует возмущение. Сигнал помехи в случае ее циклического характера аналогичным образом может быть представлен (разложен) в виде ряда Фурье:

n(t) = n(t+T)= B_k sin(_kt+_k).

Сигнал ошибки, обусловленный помехой, имеет вид:

e_n(t) = B_kG_y/n(i_k)sin(_kt + _k + arg{G_y/n(i_k)})

Чтобы выполнить требование e_n(t)  0, необходимо, чтобы выполнялось условие G_y/n(i) 0.

Рассмотрим наиболее простую ситуацию, когда помеха действует на входе (рис. 2.53).

Рис. 2.53. Возмущение на входе системы

Видим, что те составляющие, для которых G_раз(i_k) 0, не вносят погрешностей в систему. Если для всех составляющих _k спектра помех G_раз(i_k) 0, то все в порядке. Итак, в этом случае желательно, чтобы выполнялось условие

 _с << ^-,

где ^-  нижняя граница спектра сигналов возмущения.

Пусть ^-_n  нижняя граница спектра помех, а ⁺_x  верхняя граница спектра полезного сигнала. Тогда свойства системы должны быть такими, чтобы выполнялось условие

 ⁺_x << _с << ^-_n.

Рис. 2.54. Проверка условия ⁺_x << _с << ^-_n

Такой расклад (задаваемый сигнал низкочастотный, а помеха высокочастотная) получается не всегда. Может происходить наложение спектров (рис. 2.55). Те гармоники, для которых не выполняется условие ⁺_x << ^-_с << ^-_n, и приводят к ошибке.

А₀ А₁ А₂ B₁ А₃ B₂ А₄ B₃ B₄

_ср 

Рис. 2.55. Наложение спектров «полезного» сигнала и возмущений

В этом случае нужно менять элементы системы, принцип управления. Иначе высокой точности не добиться.

Замечание. Приведенные рассуждения относятся, конечно, к установившимся режимам и установившимся ошибкам. Рассматриваемые процессы не обязательно должны быть периодическими (т. е. гармоники могут быть произвольными, не кратными):

x (t) = A_k sin(_kt +_k), _k  2k/T.

Тест (15 мин)

1. Для заданного звена построить график y(t) при x(t) = 1[t].

2. Для системы, заданной уравнениями

построить структурную схему и определить передаточные функции G_y/z, G_y/n.

3. Определить передаточную функцию G_y/x