2.5.1 Точность при полиномиальных (степенных) воздействиях

Рассматривается случай, когда внешние сигналы (задающие и возмущающие) можно представить в виде конечных рядов:

В частности, при постоянном задающем сигнале

x(t) = x₀ (a₀ = x₀; a_i = 0 при i > 0),

при линейном –

x(t) = x₀ + t (a₀ = x₀; a₁ = , a_i = 0 при i > 1)

и т. д.

Принято в этом случае точность системы характеризовать коэффициентами ошибок:

Отдельные коэффициенты имеют названия:

c₀ – коэффициент ошибки по положению для задающего сигнала;

c₁ – коэффициент ошибки по скорости для задающего сигнала;

c₂ – коэффициент ошибки по ускорению для задающего сигнала;

d₀ – коэффициент ошибки по положению для возмущения;

d₁ – коэффициент ошибки по скорости для возмущения.

Значения коэффициентов ошибок могут быть легко вычислены.

e(t) = [1 – G_y/x(p)] x(t) = G_e/x(p)x(t).

с₀ = G_e/x(0), с₁= , ... или с₀ = 1 – G_y/x(0), с₁= , ...

Аналогично для коэффициентов ошибок по помехе

2.5.2 Астатизм

С коэффициентами ошибок связано понятие астатизма. Астатическими называются системы, точно (с нулевой ошибкой) отрабатывающие любые постоянные воздействия. Система называется астатической m-го порядка, если при полиномиальных воздействиях x(t) = a₀ +a₁t+...+ a_m-1t^m-1, n(t) = b₀+...+ b_m-1t^m-1 вынужденный процесс изменения ошибки отсутствует (т. е. установившаяся ошибка e_уст(t) равна нулю).

Для астатической системы 1-го порядка с₀ = 0, с₁  0, для астатической системы 2-го порядка с₀ = 0, с₁= 0, с₂  0, для астатической системы m-го порядка с₀ = 0,..., с_m-1 = 0, с_m  0.

Отметим некоторые свойства астатических систем

• Для системы с астатизмом (1-го порядка) установившаяся ошибка не зависит от самого сигнала (так как с₀ = 0). Если x(t) = x₀, то e(t) = 0, так как x⁽ⁱ⁾(t) = 0.

• Если подан линейный сигнал x(t) = a₀ + a₁t, то для астатической системы e_уст(t) = a₁с₁, т. е. ошибка постоянна и определяется скоростью изменения входного сигнала. Если подан квадратичный сигнал x(t) = a₀ + a₁t + a₂t², то e_уст(t) = (a₁ + a₂t)с₁ + a₂с₂, т. е. e_уст(t)  a₂с₁t   и при t , система с астатизмом 1-го порядка не «успевает» следовать за сигналом; ошибка нарастает со временем.

• Свойства астатизма определяются наличием интеграторов. Количество интеграторов определяет порядок астатизма.

Пример. Астатизм 1-го порядка.

G_y/x(p) = a/(a+p); G_e/x(p) = p/(a+p); c₀ = G_e/x(0) = 0; c₁= G⁽¹⁾_e/x(0) = [p/(a+p)]₀ =1/a.

Итак, для системы с астатизмом 1-го порядка коэффициент ошибки по положению равен нулю, а коэффициент ошибки по скорости – величина обратная общему коэффициенту усиления разомкнутой системы:

c₀ = 0; c₁ = 1/a.

e(t)= G_e/x(p)x(t) = p/(a+p) x(t)  (a+p)e(t) = px(t) 

ae⁽¹⁾(t)+ e(t) = x⁽¹⁾(t) 

ошибка не зависит от самого сигнала, а только от скорости его изменения.

При постоянном входном сигнале x(t) = x₀  e_уст(t) = 0.

При линейном входном сигнале x(t) = a₀ + a₁t  e_уст(t) = a₁/a = Const.

Ничего качественно не изменится, если G(p) имеет более сложный вид, например

Легко проверить, что и в этом случае получим c₀ = 0; c₁ = 1/a.

Пример.

c₀ = 0; c₁ = 0; c₂  0; x(t) =1[t]  e(t) = 0;

x(t) = ₀ +₁t  e(t) = 0;

x(t) = ₀ +₁t +₂t²  e(t) = 2c₂2  0 – появляется ошибка отслеживания.

Увеличение числа интеграторов приводит к росту точности.

Относительно астатизма по помехам справедливы те же выводы (рассматривать нужно соответствующие передаточные функции).

Пример. Найти коэффициенты ошибок по положению и скорости для полезного сигнала x(t) и возмущения n(t) для следующей системы (k = 8).

Рис. 2.50. Структурная схема

Для коэффициентов ошибок по полезному сигналу имеем: c₀ = 0, c₁ = 1/(0,48)  0,3. Для вычисления коэффициентов ошибок по возмущению определим передаточную функцию G_e/n(p):

.

d₀ = 20/32 = 5/8;