2.4.4 Запасы устойчивости

При работе с реальными системами требуется определенная гарантия того, что система будет устойчива не только при рассчитанных значениях параметров, но и при их изменении в некоторых пределах. Дело в том, что используемая для исследования устойчивости математическая модель является упрощенной; могут изменяться параметры объекта управления и системы управления в процессе эксплуатации (старение элементов, нестабильность свойств); сказываются нелинейные эффекты и т. д. Поэтому для гарантии работоспособности САУ необходимо структуру и параметры выбрать таким образом, чтобы обеспечить запасы устойчивости. Конечно, о запасах устойчивости можно говорить только для устойчивых систем.

Запасы устойчивости характеризуются «удаленностью от опасных зон». Вводят две меры (рис. 2.46):

Рис. 2.46. Определение запасов устойчивости

1). Запас устойчивости по амплитуде А – наименьшее значение абсолютной величины ЛАХ на частотах, где ЛФХ пересекает уровни –±2k.

2). Запас устойчивости по фазе  – наименьшее из отклонений ЛФХ от уровней –±2k на частотах, где ЛАХ равна нулю.

Считается, что система обладает достаточным запасом устойчивости, если A  6 дб и   /4. Фактически это означает, что рассчитанная с таким запасом система останется устойчивой даже в том случае, если общий коэффициент усиления в реальной системе отличается от используемого в модели в два раза.

Пример. Исследовать устойчивость системы (рис. 2.47)

x(t) e(t) y(t)

2

Рис. 2.47. Структурная схема исследуемой системы

Логарифмические частотные характеристики при k = 25 приведены на рис. 2.48. Разомкнутая система находится на границе устойчивости. При положительных значениях ЛАХ пересечений с уровнем –π ЛФХ не имеет. Следовательно, замкнутая система устойчива. Запас устойчивости по амплитуде равен  (пересечений с “опасными” уровнями у ЛФХ нет), запас устойчивости по фазе близок к нулю. Чтобы обеспечить минимально необходимый запас устойчивости по фазе, равный π/4, следует уменьшить коэффициент k: k  8 (ЛАХ «опускаем» на 10 дБ – это соответствует уменьшению k примерно в 3 раза).

Рис. 2.48. ЛЧХ разомкнутой системы

2.5 Точность систем автоматического управления

Рассматривается типовая структура САУ (рис. 2.49):

Р ис. 2.49. Типовая структура САУ

x(t) – полезный, задающий сигнал; n(t) – помеха, возмущение.

y(t) = G_y/x(p)x(t) + G_y/n(p)n(t) – суперпозиция.

Ошибка отработки полезного сигнала, которая характеризует точность САУ:

e(t) = x(t) – y(t) = [1 – G_y/x(p)] x(t) – G_y/n(p)n(t) = G_e/x(p)x(t) + G_e/n(p)n(t),

где e₁(t) = G_e/x(p)x(t) – ошибка по полезному сигналу, e₂(t)= G_e/n(p)n(t) – ошибка по помехам.

Значение ошибки e(t) определяется не только свойствами собственно системы, но и значениями внешних сигналов x(t) и n(t). Следовательно, нельзя по значениям e(t) сказать: «хорошая» система или «плохая». Хорошо было бы обеспечить, чтобы G_y/x(p) = 1 и G_y/n(p)= 0, но одновременно выполнить оба условия, как правило, не удается. Поэтому для характеристики точности системы вводят другие показатели. Различают два случая:

– отработка полиномиальных воздействий;

– отработка периодических воздействий.