2.4.3 Частотные критерии устойчивости

На практике алгебраические критерии применяют к системам невысокого порядка (n < 5...6). При более высоком порядке системы применение алгебраических критериев становится неэффективным из-за резко возрастающей трудоемкости вычислений. В этом случае для анализа устойчивости применяют частотные критерии, основным из которых является критерий Найквиста. Критерий Найквиста позволяет не только установить сам факт устойчивости или неустойчивости системы, но и определить запасы устойчивости.

Критерий Михайлова

Пусть Q() – характеристический полином системы. По Q() строится кривая Михайлова – АФХ характеристического полинома.

  i  Q(i) = a₀(i)ⁿ + a₁(i)^n-1 + … + a_n-1(i)¹ + a_n,

Re Q(i) = a_n – a_n-2² + a_n-4⁴ – …; Im Q(i) = a_n-1 – a_n-3³ + a_n-5⁵ – …

Чтобы система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы кривая Михайлова проходила через «n» квадрантов (или делала поворот на угол  = n/2, где n – порядок характеристического полинома (порядок характеристического уравнения).

Замечания.

1. Наибольший возможный угол поворота   n/2.

2. Всегда  = k/2 (k – целое), т. е. кривая Михайлова проходит целое число квадрантов; для устойчивой системы – k = n, для неустойчивой системы – k < n.

3.  = /2(n – 2N⁺), где N⁺ – число «неустойчивых корней» (корней с положительной вещественной частью).

4. Если система устойчива, то () – монотонная функция.

5. Критерий можно применять для исследования устойчивости как замкнутых, так и разомкнутых систем (в последнем случае нужно рассматривать характеристический полином разомкнутой системы).

Другая формулировка критерия Михайлова. Для устойчивости линейной системы при положительных коэффициентах характеристического уравнения, необходимо и достаточно, чтобы кривые X() = Re Q(i) и Y() = Im Q(i) имели в сумме число пересечений с осью абсцисс равное порядку n уравнения и чтобы абсциссы этих точек перемежались.

Пример.

Q(p) = p³+3p²+2p+1

ReQ(i)

ImQ(i)



X(), Y()

Рис. 2.40. АФХ устойчивой системы

Пример. Q(p) = 3p³+p²+p+2.

ImQ(i)

ReQ(i)



X(), Y()

Рис. 2.41. АФХ неустойчивой системы

Критерий Найквиста

Критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости САУ по характеристикам ее разомкнутой части. Поэтому для его использования система должна быть приведена к стандартной форме (с единичной отрицательной обратной связью, рис. 2.42).

x(t) y(t) G_раз(p) – ПФ разомкнутой системы

G_раз(p)

Рис. 2.42. Стандартная форма представления системы

Формулировка критерия зависит от устойчивости разомкнутой системы.

1. Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы было равно нулю суммарное число пересечений амплитудно-фазовой характеристикой разомкнутой системы отрезка вещественной оси (–1; –). При этом пересечению снизу вверх присваивается значение –1, а пересечению сверху вниз +1 (рис. 2.44).

2. Если разомкнутая система находится на границе устойчивости, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы было равно нулю суммарное число пересечений амплитудно-фазовой характеристикой отрезка вещественной оси (–1; –), дополненной в точках разрыва дугами бесконечно большого радиуса.

3. Если разомкнутая система неустойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы суммарное число пересечений амплитудно-фазовой характеристикой отрезка вещественной оси (-1; -) было равно N⁺/2, где N⁺ – число неустойчивых корней.

Рис. 2.43. К подсчету числа пересечений

Разомкнутая система находится на границе устойчивости, если ее характеристический полином (знаменатель передаточной функции разомкнутой системы) имеет корни с нулевой вещественной частью. В случае нулевых корней АФЧХ разомкнутой системы имеет разрыв при ω = 0. Этот разрыв равен –π∙m/2, где m – кратность нулевого корня. Поэтому АФЧХ следует дополнить дугой, равной –π∙m/2, начинающейся с положительной вещественной полуоси (рис. 2.44, радиус дуги R = ).

Im G(i)

Re G(i)

R=, =-/2

=0

Рис. 2.44. Разрыв АФЧХ при ω = 0

Если же характеристический полином разомкнутой системы имеет чисто мнимые корни, соответствующие звеньям с ПФ , то разрыв имеет место в точках ω_i = 1/T_i и равен π. Поэтому АФЧХ в каждой подобной точке дополняется дугой равной π (рис. 2.45).

Наиболее удобно применять критерий Найквиста в терминах логарифмических частотных характеристик.

Im G(i)

Re G(i)

R=, =-

=1/T

=1/T

Рис. 2.45. Разрыв АФЧХ при ω = 1/Т

Критерий Найквиста в терминах логарифмических частотных характеристик

Для применения критерия Найквиста при исследовании замкнутой системы с единичной отрицательной обратной связью (система должна быть предварительно приведена к указанному виду) строятся логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы. Итак, об устойчивости замкнутой системы судят по характеристикам ее разомкнутой части. Вся «прелесть» использования критерия Найквиста заключается в том, что логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы обычно легко построить.

Рассматривается область частот, где L() > 0. На этом участке считается число пересечений фазовой характеристикой уровней – ± 2k (k – целое число). Фазовая характеристика должна быть дополнена в точках разрыва. Разрывы могут быть двух видов. Разрывы первого вида имеют место при  = 0, если G_раз(p) имеет m нулевых полюсов. Фазовая характеристика при  = 0 имеет скачок вниз на -m/2. Разрывы второго вида имеют место при  = 1/T, если G_раз(p) имеет чисто мнимые полюсы ± i1/T (в знаменателе сомножители вида T²p²+1). Фазовая характеристика при  = 1/T имеет скачок вниз на -. Если скачок происходит через уровень - ± 2k, то соответствующее пересечение учитывается.

1. Если разомкнутая система устойчива или находится на границе устойчивости, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы равнялось нулю суммарное число пересечений ЛФХ уровня – ± 2k в области частот, где L() > 0. Пересечению ЛФХ уровня - ± 2k сверху вниз присваивается -1, снизу вверх  +1. Если фазовая характеристика начинается с этого уровня, такому пересечению присваивается соответственно -1/2 или + 1/2.

2. Если разомкнутая система неустойчива (имеет N⁺ корней с положительной вещественной частью), то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы суммарное число пересечений ЛФХ уровня –±2k в области частот, где L() > 0 было равно N⁺/2.

Резюме. Для исследования устойчивости линейной САУ по критерию Найквиста следует:

1. Привести систему к стандартному виду (с единичной отрицательной обратной связью).

2. Привести выражение для передаточной функции разомкнутой части системы к стандартной форме (произведению передаточных функций элементарных звеньев).

3. Исследовать устойчивость разомкнутой системы (по корням характеристического полинома – знаменателя передаточной функции).

4. Построить логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы.

5. Воспользоваться соответствующей формулировкой критерия Найквиста в терминах логарифмических частотных характеристик.