2.2.4 Инерционное (апериодическое) звено

Характеристики апериодического звена:

• передаточная функция G(p) = 1/(Tp+1), T – постоянная времени;

• уравнение звена y(t) = G(D)x(t) 

• переходная функция h(t) = 1 – e^-t/T (рис. 2.15, а);

• весовая функция g(t) = 1/Te^-t/T (рис. 2.15, б);

• амплитудно-частотная A() =

• Л ЧХ L() = –10lg(1+T²²) (рис. 2.15, в);

• асимптотическая ЛАЧХ

• Ф

  L

  ЧХ () = –arctg(T).

а

б

h

g



t

t





в

Рис. 2.15. Характеристики апериодического звена: а – переходная функция, б – весовая функция, в – логарифмические частотные характеристики

Пример. Гидроусилитель (рис. 2.16)

Рис. 2.16. К математической модели гидроусилителя

Математическая модель:

Пример. Электропривод с нагрузкой

2.2.5 Колебательное звено

Характеристики колебательного звена:

• передаточная функция G(p) = 1/(T²p²+2Tp+1), T – постоянная времени, ξ – относительное демпфирование, 0 < ξ < 1;

• уравнение звена y(t) = G(D)x(t) 

• переходная функция (рис. 2.17, а);

• весовая функция g(t) = (рис. 2.17, б);

• амплитудно-частотная A() =

ЛАЧХ L() = (рис. 2.17, в);

• асимптотическая ЛАЧХ

• ФЧХ () = –arctg[2T/(1–T²²)].

h

g

t

t

a

б

L







1/T

1/T

в

Рис. 2.17. Характеристики колебательного звена: а – переходная функция, б – весовая функция, в – логарифмические частотные характеристики

Примеры (груз на пружине, колебательный контур).

2.2.6 Другие элементарные звенья

– Консервативное звено G(p) = 1/(T²p²+1);

– Дифференцирующее (форсирующее) звено 1-го порядка G(p) = Tp+1;

– Дифференцирующее звено 2-го порядка G(p) = T²p²+2Tp+1.

Отметим, что логарифмические частотные характеристики дифференцирующих звеньев 1-го и 2-го порядков получаются зеркальным отображением относительно оси абсцисс соответствующих им инверсных звеньев: апериодического и колебательного (рис. 2.18, а).

L   

 L  

а б

Рис. 2.18. Логарифмические частотные характеристики дифференцирующего (форсирующего) звена: а – 1-го порядка, б – 2-го порядка

Реальные элементы (системы) представляют собой соединение элементарных звеньев. В частности, двигатель–редуктор (усилитель, идеальный интегратор, апериодическое звено).

Другие примеры: апериодическое звено 2-го порядка G(p) = k/(T₁p+1)(T₂p+1), интегрирующее звено с замедлением G(p) = k/p(Tp+1), изодромное звено G(p) = k(Tp+1)/p, дифференцирующее звено с замедлением G(p) = kp/(Tp+1).

2.2.7 Неустойчивые (неминимально-фазовые) звенья

Рассмотренные звенья позиционного типа (безынерционное, апериодическое, колебательное) относятся к устойчивым звеньям, или к звеньям с самовыравниванием. Выход таких звеньев приходит к новому установившемуся значению при ограниченном изменении входа (или возмущающего воздействия).

Существуют звенья, у которых ограниченное изменение входной величины или возмущающего воздействия не вызывает прихода звена к новому установившемуся состоянию, а выходная величина имеет тенденцию неограниченного возрастания во времени. К таким звеньям относятся, например, звенья интегрирующего типа (линейный рост выходного сигнала во времени).

У некоторых звеньев этот процесс выражен еще заметнее, чем у интегрирующего  выходной сигнал возрастает во времени по экспоненте. Такие звенья имеют в характеристическом уравнении положительные вещественные корни или комплексные корни с положительной вещественной частью. Они относятся к категории неустойчивых или неминимально-фазовых звеньев. У неминимально-фазовых звеньев имеются отрицательные коэффициенты в знаменателе передаточной функции.

Рассмотрим в качестве примера подобного звена неустойчивое апериодическое звено, описываемое дифференциальным уравнением Tdy/dt – y = kx. Ему соответствует передаточная функция G(p) = k / (Tp – 1). Пример – двигатель любого типа, если его механическая характеристика, т. е. зависимость вращающего момента от скорости вращения М = f(w), имеет положительный наклон. Переходная функция такого звена представляет собой показательную функцию с положительным показателем степени: h(t) = k(e^t/T–1)1[t], т. е. реакцией на елиничный скачок входного сигнала является экспоненциальное нарастание во времени выходного сигнала.

Частотные характеристики неминимально-фазовых звеньев

Амплитудные характеристики неминимально-фазовых звеньев совпадают с амплитудными характеристиками соответствующих устойчивых звеньев, а фазовые характеристики отличаются (меньше по величине) фазовых характеристик соответствующих минимально-фазовых. Сравним для примера логарифмические частотные характеристики апериодического звена (рис. 2.19, а) и его неминимально-фазового аналога (рис. 2.19, б).

а б

Рис. 2.19. Логарифмические частотные характеристики устойчивого (а) и неустойчивого (б) апериодического звена

Для звена с ПФ G(p) = 1/(Tp + 1)

A() = 1/1+T²², L() = 20lg(1/1+T²²), () = –arctg(T).

Для звена с ПФ G(p) = 1/(Tp  1)

A() = 1/1+T²², L() = 20lg(1/1+T²²), () = – + arctg(T).

Тест (на 10 мин)

1. На вход интегрирующего звена подается сигнал x(t) = t+1. Каким будет сигнал на выходе звена?

2. На вход звена с передаточной функцией G(p) = p+1 подан сигнал x(t) = t. Нарисуйте график изменения выхода y(t).

3. Опишите в пространстве состояний звено с передаточной функцией G_y/u(p) = k/(Tp+1).

4. По дифференциальному уравнению звена определите передаточную функцию G_y/х(p).

5. Определите амплитудно-частотную характеристику звена, заданного дифференциальным уравнением .