2.2.2 Идеальный интегратор

Основные характеристики:

• передаточная функция G(p) = k/p; k – коэффициент усиления звена;

• уравнение звена y(t) = G(D)x(t)  Dy(t) = kx(t) (выходной сигнал является интегралом от входа), y’ = kx(t), y = k∙x(t)dt;

• переходная функция h(t) = kt (рис. 2.13, а);

• весовая функция g(t) = k (рис. 2.13, б);

• АЧХ A() = k/;

• ЛАЧХ L() = 20lg k – 20lg  (рис. 2.13, в); ФЧХ () = –/2.

а б в

Рис. 2.13. Характеристики идеального интегратора: а – переходная функция, б – весовая функция, в – логарифмические частотные характеристики

Описание идеального интегратора в пространстве состояний:

Пример. Гидродвигатель (рис. 2.14)

В гидроприводах в качестве энергоносителя выступает сжатая гидравлическая жидкость, потенциальная энергия которой преобразуется в механическую работу путем воздействия на рабочий орган гидродвигателя. По сравнению с электроприводом гидропривод имеет следующие преимущества:

• возможность создания больших усилий при малых собственных габаритах;

• возможность создания «прямого», без механизмов преобразования, привода линейных перемещений;

• гидродвигатели, в отличие от электродвигателей, не выходят из строя при перегрузке, они просто останавливаются;

• гидродвигатели легко регулируются по усилию и скорости; обеспечивают плавное движение;

• гидродвигатели надежно работают в условиях повышенной влажности и загрязненности окружающей среды, не требуют дополнительного охлаждения;

• в гидроприводе не используются высокие, опасные для человека, напряжения электрического тока.

Рис. 2.14. К математической модели гидродвигателя

Силовой гидропривод предназначен для усиления мощности сигналов. Вход – перемещение x золотника, выход – перемещение y силового цилиндра. Модель включает следующие соотношения:

• выражение для объемного расхода жидкости Q = S(x)v, где S(x) – площадь открытого окна золотника; v – скорость движения жидкости;  – коэффициент, учитывающий потери.

• выражение для скоростного напора p = v²/2, где p – перепад давлений;  – плотность жидкости.

• условие неразрывности потока (“сколько втекает, столько вытекает”): Q₁ = Q₂ = Fy’, где F – площадь поршня силового цилиндра.

• уравнение движения поршня my’’= (P₁ – P₂)F, где m – масса поршня. Не учитывая инерционных свойств, имеем (при m = 0): P₁ = P₂.

Будем считать, что при x = 0 окно золотника полностью закрыто. Тогда S(x)  bx, где b – ширина окна, x – смещение золотника относительно указанного положения отсчета. В результате

.

Итак, скорость движения поршня рабочего цилиндра пропорциональна перемещению золотника.

Другие примеры интегрирующих звеньев – электродвигатель, резервуар, заполняемый водой.

2.2.3 Идеальное дифференцирующее звено

Основные характеристики:

• передаточная функция G(p) = kp; k – коэффициент усиления звена;

• уравнение звена y(t) = G(D)x(t)  y(t) = kdx(t)/dt – (выход пропорционален скорости изменения входа);

• переходная функция h(t) = k[t];

• весовая функция g(t) = k'(t). L +20 дБ/дек

• амплитудно-частотная A() = k

• ЛАЧХ L() = 20lgk ;  

• ФЧХ () = π/2. π/2 

Пример. Тахогенератор  электрическая машина, вал которой соединяют непосредственно или через редуктор с валом нагрузки, когда хотят определить скорость его вращения. На клеммах ТГ возникает напряжение пропорциональное скорости вращения вала: u_тг = k_тг d/dt.