2.2 Элементарные звенья

Как уже говорилось выше, для представления отдельных элементов (звеньев) в ТАУ используется стандартная форма (рис. 2.11).

Рис. 2.11. Стандартная форма представления звена

x(t), y(t) – входной и выходной сигналы, G(p) – передаточная функция.

Существует некоторый набор простых, стандартных моделей, с помощью которого можно описать свойства различных сложных систем. Компоненты этого набора называются элементарными звеньями.

2.2.1 Безынерционное звено (статическое звено, идеальный усилитель)

Основные характеристики звена:

• передаточная функция G(p) = k, k – коэффициент усиления звена;

• уравнение звена y(t) = G(D)x(t)  y(t) = kx(t);

• переходная функция (реакция на единичный скачок) x(t) = 1[t]  h(t) = k1[t] (рис. 2.12, а);

• весовая функция (реакция на импульсное воздействие) x(t) = (t)  g(t) = k(t) (рис. 2.12, б);

• амплитудно-частотная характеристика A() = k;

• логарифмическая амплитудно-частотная характеристика L() =20∙lg k (рис. 2.12, в);

• логарифмическая фазо-частотная характеристика () = 0.

а б в

Рис. 2.12. Характеристики безынерционного звена: а – переходная функция, б – весовая функция, в – логарифмические частотные характеристики

Итак, для статического звена характерно то, что ПФ является константой, связь между входом и выходом – пропорциональная зависимость. Звено характеризуется единственным параметром – коэффициентом усиления k.

Примеры.

а ) редуктор

₁(t) ₂(t) M₁(t) M₂(t)

1/i i

Модели разные в зависимости от того, что исследуется (и, соответственно, выступает в роли входа и выхода). Исследуем кинематику: ₂(t) = 1/i₁(t) (k = 1/i), силовые характеристики: M₂(t) = iM₁(t) (k = i). Но в обоих случаях модель статическая.

б) электрический усилитель

u₁(t) u₂(t)

k u₂(t) = k u₁(t); G(p) = k.

в) делитель напряжения

R₁

u_вх R₂ u_вых

Замечание. Элементарные звенья – это простейшие звенья, идеализированные модели реальных элементов. Их область применимости ограничена по полосе частот и амплитуде входного воздействия. Поясним сказанное на примере электрической цепочки.

Если u_вх невелико, то справедлив закон Ома для участка цепи, т. е. линейная зависимость выходного сигнала (тока i через резистор) от входного (напряжения u_вх): i = u_вх/R. При больших значениях u_вх резистор сгорит и линейная зависимость нарушится. Следовательно, указанная зависимость (и соответствующая модель) справедлива лишь в некотором диапазоне входных воздействий. С другой стороны, при работе в области высоких частот (МГц) на процессы начнут влиять паразитные параметры (индуктивное сопротивление резистора). И в этом случае модель идеального усилителя непригодна для описания работы электрической цепочки. Аналогичная картина имеет место для усилителей напряжения (вид АЧХ на аппаратуре). В механике – при высоких скоростях происходит деформация зубьев, не проходит на выход высокочастотная составляющая.