2.1.3 Линейная система в пространстве состояний

Метод пространства состояний был разработан в 60-70 годах XX в. американскими и советскими учеными. Сущность метода может быть резюмирована в следующих положениях:

 не используется преобразование Лапласа, анализ и синтез осуществляется непосредственно с использованием математического аппарата линейных дифференциальных уравнений;

 объект управления представляется в виде

где u – управляющее воздействие, x – вектор пространства состояний, y – выход объекта управления (все переменные x, y, u могут быть векторными; матрицы A, B, C, D – постоянные матрицы соответствующих размерностей);

 постулируется, что для линейного объекта в пространстве состояний линейная пропорциональная обратная связь стабилизирует его динамику, т. е. асимптотически обращает в ноль производные вектора состояния, ; другими словами, стабилизирующая обратная связь ищется в виде , где – матрица постоянных коэффициентов;

 для решения задач синтеза и анализа систем используются численные и оптимизационные алгоритмы, реализованные программно, в т. ч. и в системе MATLAB.

Пример. Описание «грузика на пружинке в пространстве состояний

Рис. 2.9. Модель «грузика на пружинке»

Уравнение движения грузика на пружинке имеет вид

Выбор переменных состояния не является однозначным, они могут быть определены по-разному, например, в нормальной, канонической или в других формах.

В общем случае описание линейной САУ дается в форме динейного дифференциального уравнения n-го порядка, связывающего выход y с сигналом управления u и возмущением f. Это уравнение всегда можно представить в виде системы дифференциальных уравнений 1-го порядка:

где введены n независимых переменных х₁, х₂, …, х_n, называемых переменными состояния.

Эти уравнения, как и уравнение n-го порядка, полностью характеризуют состояния объекта в любой момент времени (и являются уравнениями состояния). Управляемая величина у однозначно определяется через выбранные переменные состояния х₁, х₂, …, х_n выражением вида

y = с₁x₁ + с₂x₂ + … + с_nx_n.

Обычно уравнения состояния записывают в векторно-матричной форме

где A – матрица размером nn, b, m, c – матрицы-столбцы.

Матрицу-столбец х называют вектором состояния, хотя в общем случае х не является вектором, так как его компоненты x₁, x₂, …, x_n могут иметь разный физический смысл (и неодинаковые размерности).

В выборе переменных состояния имеется определенная свобода. Важно только, чтобы они были независимыми. От того, как выбраны переменные, зависит форма уравнений состояния, т. е. вид входящих в них матриц.

При нормальной форме уравнений состояния в качестве переменных состояния выбираются сама управляемая величина y и n–1 ее производных:

Эту форму можно использовать лишь при отсутствии в правой части дифференциального уравнения производных от u и f, т. е. когда оно имеет вид

В этом случае

При нормальной форме записи y = x₁. Поэтому с^Т = [1 0 … 0].

Достоинством нормальной формы является то, что переменные состояния имеют ясный физический смысл, а некоторые из них (например, х₁, х₂ и х₃) могут быть непосредственно измерены датчиками различных типов.

Для получения уравнений состояния в канонической форме уравнение объекта представляется в виде

Если корни p₁, p₂, … , p_n полинома Q(p) действительные некратные, то правая часть этого уравнения может быть представлена в виде суммы элементарных дробей:

где α_i и β_i – коэффициенты разложения.

В качестве переменных состояния выбирают слагаемые этой суммы:

Отсюда (p – p_i)x_i = α_iu + β_if, i = 1, 2, …, n или

При этом

y = x₁ + x₂ + … + x_n.

Матрицы в уравнениях состояния принимают вид

Большое достоинство канонической формы – диагональность матрицы А, что существенно упрощает исследование. Основной недостаток состоит в том, что переменные состояния не имеют ясного физического смысла и не могут быть непосредственно измерены. Кроме нормальной и канонической формы существуют и другие способы выбора переменных состояния.