4. Интегрирование тригонометрических функций

Вычисление неопределенных интегралов от функций рационально зависящих от и , то есть интегралов вида проводят с помощью универсальной тригонометрической подстановки. При этом выбирают новую переменную . В этом случае все подынтегральное выражение зависит от переменной : .

В некоторых случаях возможны более простые приемы вычисления интегралов.

Для вычисления интегралов вида можно использовать

1. Подстановку , если – положительное нечетное число;

2. Подстановку , если – положительное нечетное число;

3. Формулы понижения степени , если – неотрицательные четные числа;

4. Подстановку , если – четное отрицательное число;

5. Тригонометрические формулы

,

,

для интегралов вида , , .

3. Определенный интеграл

   1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

Задача 1. (задача о работе силы)

Пусть на прямолинейном участке движется материальная точка под действие переменной силы . Вычислить работу, производимую этой силой.

Разобьем отрезок на частей . Пусть так велико, а разбиения так малы, что на каждом из них сила практически постоянна и равна , где точка . Тогда на каждом участке разбиения . Работа на всем отрезке равна . Точное значение работы равно ( ).

Задача 2. (о площади криволинейной трапеции)

Пусть функция непрерывна на отрезке . Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , прямыми .

Разобьем отрезок на частей . Пусть так велико, а разбиения так малы, что на каждом из них практически постоянна. Тогда на каждом участке разбиения площадь элементарной криволинейной трапеции равна площади прямоугольника (точка ). Площадь на всем отрезке равна . Точное значение ( ).

Пусть функция непрерывна на отрезке . Разобьем отрезок на частей . Рассмотрим интегральную сумму , где и .

Определение. Если существует ( ), то он называется определенный интеграл и обозначается .

.

Можно доказать, что предел, а значит и интеграл не зависит от разбиения отрезка на части и выбора точек .

В задаче 1: Работа ; в задаче 2: площадь криволинейной трапеции .

2. Свойства определенного интеграла

1. а) т.к.

б) т.к. .

2. Интеграл от суммы равен сумме интегралов.

.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

.

4. Пусть точка , тогда .

5. .

6. Если , то

7. Если на отрезке выполняется , то .

8. Пусть – наибольшее и – наименьшее значение функции на отрезке , тогда .

9. Теорема о среднем.

Если функция непрерывна на отрезке , то такое, что .

3. Теорема Ньютона – Лейбница

Пусть функция непрерывна на отрезке . Для можно вычислить , таким образом, определена функция , зависящая от переменной . .

Теорема. (Теорема Ньютона – Лейбница)

Пусть функция непрерывна на отрезке , тогда является первообразной функции .

Следствие.

– формула Ньютона-Лейбница.

Пусть для вычисления определенного интеграла требуется выполнить замену переменной . Для этого нужно чтобы выполнялись условия: функция , ее производная и сложная функция непрерывны для . Кроме того, . Тогда справедливо равенство .

Если функции и имеют непрерывные производные на отрезке , то верна формула интегрирования по частям .