Лекция 3 глава II.Теория деформаций § 1, Составляющие перемещения и деформации. Зависимость между ними

Исследуем деформацию упругого тела. Для ее определения необходимо сравнить положение т очек тела до и после приложения нагрузки. На рис. 10 показаны тело и точка А с координатами х, у, z. Под действием нагрузки точка А переместится в новое положение А¹ с координатами х¹, у¹, z¹. Вектор АА' называется вектором перемещения точки А.

Различают два вида перемещений; перемещение всего тела как единого целого без его деформирования и перемещение, связанное с деформированием тела. Перемещения первого вида изучаются в теоретической механике как перемещения абсолютно твердого тела.

В теории упругости рассматриваются только перемещения, связанные с деформированием тела.

Будем считать, что рассматриваемое тело закреплено так, чтобы оно не могло перемещаться как абсолютно твердое тело. Обозначим проекции вектора перемещения точки А на координатные оси через u, v, w. Они равны разности соответствующих координат точек A и A'.

; ;

и являются функциями координат:

;

Разница в значениях перемещений различных точек тела вызывает его деформирование. Бесконечно малый параллелепипед с ребрами dx, dy, dz, вырезанный из упругого тела около произвольной точки А, вследствие различных перемещений его точек деформируется таким образом, что изменяется длина его ребер и искажаются первоначально прямые углы между гранями.

На рис, 11 изображены два ребра этого параллелепипеда: ребро АВ, параллельное оси х. и ребро АС, параллельное оси z. Длина ребра АВ равна dx, ребра АС — dz. После деформирования точки А, В и С займут новые положения: A', В', С'. При этом точка А получит перемещение, составляющие которого в плоскости чертежа равны u, v, w.

Точка В, отстоящая от точки А на бесконечно малом расстоянии dх, получит перемещение, составляющие которого будут отличаться от составляющих перемещения точки А на бесконечно малую величину за счет изменения координаты х:

; .

Составляющие перемещения точки С будут отличаться от составляющих перемещения точки А на бесконечно малую величину за счет изменения координаты z:

; .

Длина проекции ребра АВ на ось х после деформирования

. (2.1)

Проекция абсолютного удлинения ребра АВ на ось х

.

Относительное удлинение вдоль оси х

(a)

называется линейной деформацией по направлению оси х.

Аналогично получим линейные деформации по направлениям координатных осей у и z:

; . (b)

Итак, линейная деформация по любому направлению равна частной производной составляющей перемещения в этом направлении по переменной в том же направлении.

Рассмотрим изменения углов между ребрами параллелепипеда (рис, 11). Тангенс угла поворота ребра АВ в плоскости хoy

.

Ограничиваясь рассмотрением только малых деформаций, можно положить tg__и пренебречь линейной деформацией _x ввиду малости по сравнению с единицей. Тогда

.

Аналогично находим угол поворота ребра АС в той же плоскости:

. (2.2)

Угол сдвига в плоскости хОz, т. е. искажение прямого угла ВАС, называется угловой деформацией и определяется как сумма углов поворота ребер АВ и АС:

. (в)

Аналогично найдем угловые деформации в двух других координатных плоскостях:

; ; (г)

Итак, угловая деформация в любой плоскости равна сумме частных производных составляющих перемещения в этой плоскости по переменным в перпендикулярных направлениях.

Формулы (а), (б), (в) и (г) дают шесть основных зависимостей составляющих линейных и угловых деформаций от составляющих перемещения;

(2.3).

Эти геометрические соотношения были выведены Коши и иногда называются уравнениями Коши.

В пределе, когда длины ребер параллелепипеда стремятся к нулю, формулы (2.3) определяют линейные и угловые деформации в окрестности точки А.

Правило знаков для составляющих деформации.

1. Положительным линейным деформациям отвечают удлинения по соответствующим направлениям, а отрицательным —укорочения,

2, Положительным угловым деформациям соответствует уменьшение углов между положительными направлениями координатных осей, а отрицательным — увеличение тех же углов.