Лекция 11 глава IX. Вариационные методы решения задач теории упругости § 1. Сущность вариационных методов решения дифференциальных уравнений

Большинство задач теории упругости сводится к интегрированию дифференциальных уравнений с заданными граничными условиями. Точного решения многих важных для практики задач до сих пор не получено, так как интегрирование дифференциальных уравнений, к которым они приводятся, представляет собой большие математические трудности. Поэтому важное значение приобрели вариационные методы, позволяющие эффективно получать приближенные решения дифференциальных уравнений с точностью, достаточной для инженерных расчетов.

С ущность вариационных методов заключается в том, что функцию, удовлетворяющую дифференциальному уравнению при заданных граничных условиях, заменяют приближенным аналитическим выражением, подбираемым так, чтобы оно наилучшим образом аппроксимировало эту функцию.

В теории изгиба пластинок такой подход позволяет свести интегрирование основного дифференциального уравнения в частных производных к решению системы линейных алгебраических уравнений или к решению обыкновенного дифференциального уравнения.

Уравнение изгиба пластинки (уравнение Софи-Жермен) записывается

где w – неизвестный прогиб пластинки, q – поперечная нагрузка на пластинку, - цилиндрическая жесткость пластинки при изгибе, h- толщина пластинки.

Для приведения дифференциального уравнения изгиба пластинки к системе линейных алгебраических уравнений приближенное значение функции прогибов w_n(х, у) можно выбирать в виде ряда с конечным числом членов:

(9.1)

где φ_kl (х, у) — линейно независимые функции, удовлетворяющие граничным условиям задачи; a_kl — постоянные параметры, подлежащие определению.

В зависимости от числа членов ряда (9.1) решение может быть получено с любой степенью точности. Параметры а_к1 выбирают так, чтобы ряд по возможности точнее представлял искомую функцию w (х, у).

Из различных вариационных методов рассмотрим два: метод Ритца—Тимошенко и метод Бубнова—Галеркина.

§ 2- Метод Ритца — Тимошенко

Метод Ритца—Тимошенко основан на использовании известного из кура теоретической механики принципа возможных перемещений: для равновесия системы, подчиненной идеальным удерживающим связям, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех приложенных к ней сил на всяком возможном перемещении равнялась нулю.

Возможные (виртуальные) перемещения – 1) – они неразрывны, 2) – удовлетворяют кинематическим условиям.

Рассматривая отдельно действие внешних и внутренних сил, принцип возможных перемещений можно представить следующим образом:

(а)

где А — работа внешних сил (объемных и поверхностных) на каком- либо возможном перемещении; U — работа внутренних сил, представляющая собой приращение потенциальной энергии на том же возможном перемещении с обратным знаком.

Пусть тело находится в равновесии под действием объемных сил, составляющие которых X, У, Z, и поверхностных сил, составляющие которых Xv Yv, Zv. Обозначим составляющие возможных перемещений u, v, w и подсчитаем работу внешних сил на этих перемещениях. Элементарная работа составляющей объемных сил X, приходящейся на единицу объема, равна произведению этой силы на объем бесконечно малого элемента dxdydz и на возможное перемещение u по ее направлению: Xdxdydzu,

Точно так же элементарные работы составляющих объемных сил У и Z равны соответственно Ydxdydzv, Zdxdydzw.

Работа, производимая объемными силами во всем объеме тела V, равна интегралу по этому объему от суммы элементарных работ, совершаемых каждой из составляющих:

(б)

Элементарная работа составляющей поверхностных сил Xv которая действует на бесконечно малый элемент поверхности ds, равна произведению этой составляющей на площадь ds и на возможное перемещение u в направлении составляющей: Xvdsu.

Аналогично определяются и элементарные работы двух других составляющих поверхностных сил: Yvdsv, Zvdsw.

Работа, производимая поверхностными силами, действующими по всей поверхности тела s, равна интегралу по этой поверхности от суммы элементарных работ, совершаемых каждой из составляющих поверхностных сил:

(в)

Таким образом, работа всех внешних сил на возможных перемещениях равна сумме работ объемных (б) и поверхностных (в) сил:

(г)

При вычислении возможной работы внешних сил варьировались только перемещения u, v и w, а объемные и поверхностные силы оставались постоянными, поэтому оператор  в формуле (г) можно вынести за знаки интегралов и за скобки:

(д)

Приращение потенциальной энергии U подсчитывается согласно интегралу (3.20):

(е)

где W — удельная потенциальная энергия, определяемая по формуле (3.18).

Полагая в формуле (а) оператор  общим для обоих слагаемых, получаем

 (А — U) = 0. (ж)

Выражение, стоящее в скобках, представляет собой работу всех внешних и внутренних сил, приложенных к телу. Эта разность с противоположным знаком является потенциальной энергией системы внешних и внутренних сил, действующих на упругое тело:

Э=U — А. (9.2)

Вводя это обозначение в условие (ж), получаем

Э = 0. (з)

Приращение функции  с точностью до бесконечно малых величин высшего порядка равно ее первому дифференциалу, поэтому вместо условия (з) можно написать

dЭ = 0,

а это означает, что потенциальная энергия системы Э имеет экстремальное значение.

В курсе теоретической механики доказывается теорема Лагранжа—Дирихле, на основании которой можно сформулировать следующий принцип минимума потенциальной энергии: из всех мыслимых перемещений упругого тела перемещения, удовлетворяющие условиям устойчивого равновесия, сообщают потенциальной энергии системы минимальное значение.

Таким образом, потенциальная энергия системы (9.2)

Э=U — А = min, (9.3)

где потенциальная энергия, накапливаемая в упругом теле, определяется по формуле (3.19), а работа объемных и поверхностных сил согласно формуле (д) составляет

(и)

При изгибе пластинки объемными силами пренебрегают, а из составляющих поверхностных сил отлична от нуля только одна: Zv = q. Подставляя это значение в формулу (и) и принимая элемент поверхности ds в виде прямоугольника со сторонами dx и dy, получаем выражение работы внешних сил при изгибе пластинки:

(9.4)

Если приближенное значение функции прогибов выбирать в виде ряда (9.1), то после подстановки этого значения в формулу (9.3) потенциальная энергия системы окажется функцией параметров a_kl:

Эп = Эп(a_kl).

Подставляя составляющие деформации и напряжений в формулу (3.21), убеждаемся, что потенциальная энергия Un является квадратичной функцией этих параметров. Подставляя функцию прогибов (9.1) в формулу (9.4), можно убедиться, что работа внешних сил Ап в пластинке является линейной функцией параметров а_к1. после подстановки выражений Un и Ап в формулу (9.3) убеждаемся, что потенциальная энергия системы Эп является квадратичной функцией этих параметров.

Чтобы найти значения параметров а_кl, соответствующие минимуму потенциальной энергии системы, нужно приравнять нулю частные производные:

(9.5)

Производная квадратичной функции параметров оказывается линейной функцией этих параметров, поэтому условие (9.5) представляет собой систему n² линейных уравнений относительно параметров а_кl 'Таким образом метод Ритца—Тимошенко позволяет заменить задачу о нахождении решения дифференциального уравнения изгиба пластинки задачей о нахождении минимума потенциальной энергии, Такая замена возможна в связи с тем, что и указанное дифференциальное уравнение и вариационное уравнение (з) являются уравнениями равновесия упругого тела. Покажем, что последнее включает в себя дифференциальные уравнения равновесия и условия на поверхности. Рассматривая уравнение (з) в форме

(к)

внесем в него выражения потенциальной энергии (3.20) и (3.16), возможную работу всех внешних сил (г) и учтем, что

В результате получим

(л)

Обратимся в уравнении (л) к первому из тройных интегралов и произведем интегрирование по переменной х. Интегрируя по частям, находим

(м)

Первый интеграл в правой части равенства (м) является поверхностным интегралом второго типа. Его можно преобразовать в поверхностный интеграл первого типа по известной из курса математического анализа формуле

(н)

Здесь функции P= P(x,y,z), Q=Q(x,y,z), R=R(x,y,z) должны быть непрерывными вместе с первыми частными производными внутри объема V, ограниченного поверхностью s; l, m, n — направляющие косинусы нормали к этой поверхности.

Используя преобразование (н), вместо формулы (м) получаем

Аналогично преобразуются и остальные восемь первых тройных интегралов в уравнении (л). После преобразования и группировки по составляющим возможных перемещений вместо уравнения (л) получаем

В записанном уравнении возможные перемещения u, v и w, между собой не связаны, поэтому, чтобы оно обращалось в тождество при любых значениях возможных перемещений, должны обращаться в нуль коэффициента при возможных перемещениях, стоящие в скобках. Следовательно, получаем шесть уравнений: три первых уравнения представляют собой условия на поверхности (4.2), а три других — дифференциальные уравнения равновесия (4.1). Таким образом, вариационное уравнение (к) заключает в себе дифференциальные уравнения равновесия и статические граничные условия. Отсюда следует, что при использовании этого уравнения для приближенного решения задач выбранная функция φ_kl обязательно должна удовлетворять только геометрическим граничным условиям. Статические граничные условия и основное дифференциальное уравнение задачи удовлетворяются автоматически.

Итак, решение задачи об изгибе пластинки методом Ритца—Тимошенко состоит в следующем. Принимаем приближенное значение функции прогибов w(х,у) в форме двойного ряда

(о)

причем функции φ_kl должны удовлетворять геометрическим граничным условиям. Вычисляем приближенное значение потенциальной энергии в пластинке Un, для чего ниже получена формула (9.11). По формуле (9.4) вычисляем работу внешних сил Ап, а по формуле (9.3) — потенциальную энергию системы Эп. Для определения параметров а_кl используем систему уравнений (9.5). Найденные параметры подставляем в функцию прогибов (о) и получаем искомое приближенное решение.

Следует заметить, что, хотя удовлетворение статических граничных условий в методе Ритца—Тимошенко не обязательно, функции φ_kl лучше по возможности выбирать так, чтобы они удовлетворяли всем граничным условиям — геометрическим и статическим. В этом случае ряд быстрее сходится к точному решению и при вычислениях бывает достаточно ограничиться одним-двумя членами ряда.