Лекция 2 Напряжения на наклонных площадках. Условия на поверхности

Для исследования напряженного состояния в любой точке тела необходимо уметь находить напряжения на произвольной площадке, наклоненной к координатным осям Положение в пространстве бесконечно малой площадки abc, изображенной на рис. 8, определяется нормалью v, направляющие косинусы которой

c os(х,)=l, cos(у,)=m, cos(z,)=п.

Наклонная площадка abc вместе с координатными площадками Oab, Оbс и Оса образует бесконечно малый тетраэдр. Обозначим площадь грани abc через dF; тогда площади остальных граней тетраэдра определим как проекции площади грани abc на соответствующие координатные плоскости: пл. Оbс=dF•l, пл. Оса=dF•m, пл. Oab=dF•n. На рассматриваемый тетраэдр действуют следующие силы; на координатных площадках — силы от шести составляющих напряжений _х, _y _z _xy _yx _yz _zy _zx _xz, на площадке abc— силы от трех составляющих полного напряжения X, Y,_v и Z_v и по всему объему — составляющие объемной силы X, Y, Z (последние на рис, 8 не показаны).

Проецируя все силы на ось x получаем

Здесь последнее слагаемое имеет третий порядок малости (dV), а остальные — второй (dF). Пренебрегая слагаемым третьего порядка малости и деля все остальные слагаемые на dF, находим

Cоставляя уравнения проекций всех сил, действующих на тетраэдр Oabc, на оси у и z, получаем еще два уравнения. Таким образом, приходим к следующим трем уравнениям равновесия элементарного тетраэдра:

(1.4)

Уравнения (1.4) позволяют определять составляющие напряжения на любой наклонной площадке с нормалью  с помощью шести составляющих: напряжений на площадках, параллельных координатным плоскостям.

Если площадка abc совпадает с поверхностью тела, то составляющие напряжения X, Yи Zсоответствуют составляющим внешних сил, действующих на поверхности тела. Тогда уравнения (1.4) называют условиями на поверхности тела. Они связывают внешние силы с внутренними.

Удовлетворение уравнениям (1.1) и (1.4) является необходимым и достаточным признаком равновесия всего тела под действием заданных внешних сил. Действительно, если составляющие напряжений (1.3) удовлетворяют уравнениям равновесия (1.1) во всех точках внутри тела, то все точки внутри тела находятся в равновесии. Если составляющие напряжений (1.3) удовлетворяют уравнениям (1.4) в точках у поверхности тела, то все точки тела у поверхности находятся в равновесии. Если же составляющие напряжений (1.3) одновременно удовлетворяют уравнениям (1.1) и (1.4). то в равновесии находится все тело в целом.

И наоборот, если тело находится в равновесии под действием заданных внешних сил, то во всех точках внутри тела должны обращаться в тождества уравнения (1.1), а во всех точках на поверхности тела — уравнения (1.4).

§ 5. Исследование напряженного состояния в точке тела. Главные напряжения. Инварианты напряженного состояния

Уравнениями (1.4) можно воспользоваться для вычисления напряжений на любой наклонной площадке в любой точке внутри тела, если известны составляющие напряжений по трем взаимно перпендикулярным площадкам, параллельным координатным плоскостям: _х, _y _z _xy _yx _yz _zy Равнодействующая составляющих напряжения на наклонной площадке X, Y,_v и Zназывается полным напряжением на этой площадке и определяется как геометрическая сумма составляющих:

(1.5)

Разложим полное напряжение р_ на составляющую по нормали к площадке (нормальное напряжение) и составляющую в плоскости площадки (касательное напряжение). Нормальное напряжение равно сумме проекций составляющих полного напряжения, параллельных координатным осям, на направление нормали:

(1.6)

Подставляя сюда значение составляющих X, Y,_v и Zиз (1.4), получаем

(1.7)

Формула (1.7) позволяет определять нормальные напряжения на любой наклонной площадке с помощью шести составляющих напряжений на трех площадках, параллельных координатным плоскостям.

Касательное напряжение на этой площадке определится как геометрическая разность полного и нормального напряжений:

(1.8)

Последняя формула дает только величину касательного напряжения, но не указывает его направление в плоскости площадки.

Найдем составляющую касательного напряжения в плоскости площадки с нормалью  по заданному направлению с направляющими косинусами l₁, m₁, n₁(см, рис, 8). Так как направления  и  взаимно перпендикулярны, то между их направляющими косинусами существует известное из аналитической геометрии соотношение

(1.9)

Искомое касательное напряжение равно сумме проекций составляющих напряжений Xv, Yv Zv на направление :

Подставляя сюда выражения составляющих напряжения из (1.4), находим

(1.10)

Формула (1.10) позволяет определять касательные напряжения на любой наклонной площадке в заданном направлении с помощью шести составляющих напряжений на трех площадках, параллельных координатным плоскостям.

Площадка, на которой касательные напряжения равны нулю, называется главной.

Приняв _=0, из равенства (1.8) получим p_ = _, т. е. на главной площадке полное напряжение совпадает с нормальным по величине и направлению.

Из условия _=0 определим величину главных напряжений и положение главных площадок. Обозначив искомое главное напряжение через  и проецируя его на координатные оси, находим составляющие главного напряжения, параллельные координатным осям:

(а)

Сравнивая соотношения (а) и (1.4), получаем

(б)

Кроме того» имеем известное из аналитической геометрии соотношение между направляющими косинусами

Последние четыре уравнения содержат четыре неизвестных: главное напряжение и три его направляющих косинуса. Представим уравнения (б) в таком виде:

Однородная система уравнений (в) не допускает тривиального решения l = m = n = 0, так как оно противоречит условию (1.11). Для существования других решений этой системы, при которых хотя бы один из направляющих косинусов отличен от нуля, необходимо, чтобы определитель системы уравнений (в) был равен нулю, т. е.

Раскроем этот определитель:

После перемножения и группировки по степеням  получим кубическое уравнение

или короче

(г)

где

Решение этого уравнения дает три корня: σ₁, σ₂, σ₃; все они оказываются вещественными. Наибольший корень по алгебраическому значению принято обозначать σ₁, а наименьший σ₃. Таким образом, и каждой точке напряженного тела всегда можно найти три главных напряжения: σ₁≥ σ₂≥ σ₃.

Внесем одно из значений главных напряжений σ_i (i = 1, 2, 3) в уравнения (в). Решая после этого любые два из указанных уравнений совместно с уравнением (1.11), найдем направляющие косинусы l_i, m_i, и n_i для одной из главных площадок.

Исследуем взаимное расположение главных площадок. Обозначив главные напряжения σ₁ и σ₂ и давая направляющим косинусам, соответствующим этим напряжениям, те же индексы по формулам (в), получим:

(д)

Умножая каждое из уравнений (д) на направляющие косинусы, как указано в столбце справа от уравнений, после сложения найдем

Если σ₂ ≠σ₁ то получаем условие перпендикулярности главных площадок, на которых действуют напряжения σ₂ и σ₁:

Аналогично можно доказать перпендикулярность главных площадок, на которых действуют напряжения σ ₃ и σ ₂. а также σ₁и σ₃. Таким образом, в каждой точке напряженного тела можно выделить по крайней мере три взаимно перпендикулярные главные площадки.

Величины главных напряжений не зависят от положения координатных осей x, y, z. Если вокруг заданной точки вырезать несколько элементарных параллелепипедов с различным направлением граней и подставить значения составляющих напряжений для каждого из параллелепипедов в уравнение (г), то для всех параллелепипедов должны получиться одни и те же значения главных напряжений. Следовательно, корни кубического уравнения (г) не зависят от выбора координатной системы и коэффициенты уравнения должны сохранять постоянные значения при преобразовании осей, т. е. они являются инвариантами. Поэтому величины S₁ S₂ и S₃ называются соответственно первым, вторым и третьим инвариантами напряженного состояния.. Их можно выразить и через главные напряжения, для чего в формулах (1.12) касательные напряжения следует положить равными нулю, а нормальным дать индексы главных напряжений. Тогда

(1.13)

В теории напряжений инварианты следует рассматривать как основные характеристики напряженного состояния в точке; составляющие же напряжений, как связанные с осями координат, являются вспомогательными.