Лекция 15 Упругопластическое состояние толстостенной трубы, находящейся под действием внутреннего давления

Точное решение этой задачи представляет большие трудности и осуществляется численными методами. Рассмотрим на примере длинной трубы приближенное решение, достаточно хорошо согласующееся с точным. Труба находится в условиях плоской деформации, следовательно, в цилиндрической системе координат r, θ, z касательные напряжения

(а)

(ось z направлена вдоль оси трубы).

В упругой стадии работы материала нормальные радиальные и тангенциальные напряжения определяются формулами (7.37).

Эпюры этих напряжений показаны на рис. 43, а.

Осевые нормальные напряжения σ_z при плоской деформации определяются по формуле (6.1). В цилиндрической системе координат

(б)

Для упрощения задачи материал трубы считаем несжимаемым, т. е. коэффициент Пуассона v = 0,5. Тогда формула (б) принимает такой вид:

(в)

В силу осевой симметрии касательные напряжения

(г)

В упругопластической стадии сечение трубы можно считать состоящим из двух кольцевых зон: внутренней пластической, где а<r<с, и наружной упругой, где с<r<b (рис. 110).

Для упругой зоны справедливы, как указывалось, формулы (7.37), которые с учетом ее размеров принимают вид

(12.10)

где q — радиальное давление на границе между упругой и пластической зонами (при r = с).

Для определения напряжений в пластической зоне рассмотрим уравнения равновесия плоской задачи в полярной системе координат (7.1). При отсутствии объемных сил

(д)

Вследствие осевой симметрии напряжения не зависят от полярного угла и производные по θ в уравнениях (д) обращаются в нуль. Тогда с учетом равенства (г) получаем

. (е)

Считаем, что материал трубы не обладает упрочнением, и принимаем условие пластичности (11.4). Интенсивность напряжений (1.23) в цилиндрической системе координат выглядит следующим образом:

(ж)

Подставляя сюда значения напряжений (а), (в) и (г), находим

(з)

В рассматриваемой задаче напряжение σ_θ всегда больше напряжения σ_r, поэтому в условие пластичности подставляем положительное значение интенсивности напряжений (з):

(и)

Решаем совместно уравнения (е) и (и). Подставляя разность напряжений из уравнения (и) в уравнение (е), получаем

Это уравнение с разделенными переменными. Интегрируя, находим

(к)

Используя граничное условие на внутренней поверхности трубы, где при r= а σ_r = -p, получаем уравнение

.

откуда постоянная

Внося этот результат в выражение (к), находим

Тогда из уравнения (и) легко подсчитать и напряжение σ_θ.

Таким образом, напряженное состояние в пластической зоне трубы характеризуется следующими напряжениями:

(12.11)

На границе между упругой и пластической зонами напряжения σ_r и σ_θ должны быть непрерывными. Приравнивая правые части соответствующих выражений (12.10) и (12.11), при r = с получаем два уравнения для определения q и с:

Из первого уравнения находим

(12.12)

и подставляем во второе, которое преобразуется в следующее:

(12.13)

Уравнение (12.13) служит для определения радиуса с окружности, разграничивающей упругую и пластическую зоны трубы как функции внутреннего давления р. После определения с находим по формуле (12.12) радиальное давление q.

Теперь можно в общем виде получить решения для двух предельных случаев деформирования трубы.

1. Предел упругого деформирования. Это состояние соответствует значению радиуса с=а. Тогда из уравнения (12.13) находим давление:

(12.14)

Внося это значение в формулы (7.37), получаем соответствующие напряжения:

(12.15)

Эпюры напряжений для трубы с отношением наружного и внутреннего радиусов b/a = 2 показаны на рис. 111. В этом случае р_упр = - 0,433σ_т.

2. Предел пластического деформирования. В этом случае с=b и

. (12.16)

После подстановки полученного значения давления в формулы (12.11) находим напряжения:

(12.17)

Эпюры напряжений при том же отношении наружного и внутреннего радиусов показаны на рис. 112. В этом случае предельное давление р_т = 0.800σ_т.

Если р_упр<р<р_т, тo труба будет находиться в упругопластическом состоянии. На рис. 110 изображены эпюры напряжений σ_r и σ_θ, соответствующие давлению р = 0,700ат. В этом случае радиус границы между упругой и пластической зонами, определенный из уравнения (12.13), с = 1,44а.

Радиальное давление (12.12) составляет q = 0,279 σ_т.

Подставляя значение давления в формулы (12.11), получаем выражения напряжений в пластической зоне трубы (в пределах a≤r≤1,44а):

. (12.18)

Подставляя значения радиуса с = 1,44 а, отношения радиусов b/а=2 и давления q = 0,279σ_т в формулы (12.10), находим выражения напряжений в упругой зоне трубы(в пределах 1,44 а≤r≤2а):

(12.19)

В точках внутренней поверхности трубы (при r=а) из формул (12.18) получаем:

в точках границы между упругой и пластической зонами (при r = 1,44а) — из формул (12.18) или (12.19):

в точках наружной поверхности трубы (при r=2а) — из формул (12.19):

Из эпюр, изображенных на рис. 110, 111, 112, видно, что нормальные радиальные напряжения при переходе материала трубы из упругого состояния в пластическое не меняют характера распределения, а лишь возрастают пропорционально росту давления. Распределение нормальных тангенциальных напряжений в пластической стадии резко отличается от их распределения в упругой стадии работы материала. В упругой стадии в наиболее тяжелых условиях находится материал внутренних слоев трубы, а в пластической — наружных слоев. Последнее подтверждается опытами над стальными трубами, разрушение которых начинается с поверхности.

Задание по курсу теории упругости

1). Построить эпюры напряжений _r и _по радиусу диска.

Вариант	ra, мм	rb, мм	pa, кгс/мм2	pb, кгс/мм2
1	100	150	10	0
2	100	200	10	0
3	100	250	10	0
4	100	300	10	0
5	100	150	0	-20
6	100	200	0	-20
7	100	250	0	-20
8	100	300	0	-20

Дополнительные вопросы по курсу «Теория упругости и пластичности»