Лекция 14 простейшие задачи теории пластичности § 1. Упругопластический изгиб призматического бруса

Чистый изгиб. Рассмотрим задачу о чистом упругопластическом изгибе балки постоянного сечения с двумя осями симметрии (рис. 105), нагруженную по торцам парами сил с моментом М₀ (см. рис. 12). Решать будем обратным методом в напряжениях.

В упругой стадии деформирования балки при чистом изгибе отлична от нуля только одна составляющая напряжений σ_z (см. § 1 гл. V). Примем то же и в пластической стадии. В этом случае условие пластичности (11.4) примет такой вид

(а)

П редположим, что материал балки подчиняется закону деформирования, изображенному на рис. 102 и описываемому уравнением (11.16), которое в случае чистого изгиба принимает вид

(б)

где по-прежнему 0< m< 1.

Предположим также, что материал одинаково сопротивляется как растяжению, так и сжатию. Вследствие этого распределение напряжений σ_z по высоте сечения будет следовать диаграмме рис. 102. На рис. 105 показаны эпюра продольных деформаций ε_z. (получаемая на основании гипотезы плоских сечений) и эпюра нормальных напряжении σ_z. Координата ξ определяет границу упругих и пластических деформаций. Пластические зоны на рисунке заштрихованы.

Из эпюры ε_z. устанавливаем следующее соотношение для деформаций:

. (в)

Подставляя его в уравнение (б) получаем функцию напряжений в таком виде:

(г)

При возрастании момента М₀ нагружение в каждой точке является простым и для решения задачи можно применить теорию малых упругопластических деформаций.

Если пренебречь объемными силами, то дифференциальные уравнения равновесия (4.1) при подстановке в них напряжений (г) обращаются в тождества. Граничные условия на боковой поверхности сводятся к тому, что поверхностные нагрузки Xv = Yv = Zv = 0 и направляющий косинус п =0. Учитывая это и подставляя функцию (г) в условия на поверхности (4.2), также получаем тождества.

На торцах балки по условию задачи приложены пары сил с моментом М₀. Так как функция (г) не зависит от координаты z, то на торцах возникнут такие же напряжения, как и в любом другом поперечном сечении балки. Эти напряжения сводятся к моменту относительно оси y который должен уравновесить внешний момент М₀,:

(д)

или после подстановки сюда функции (г)

(е)

Рассмотрим интегрирование этого выражения в случае прямоугольного сечения размером b х h (рис. 106, а). Разбивая сечение на элементарные полосы площадью dF = bdx, с учетом симметрии относительно оси у получаем

(ж)

Выразив отсюда и подставив в формулу (г), находим напряжения:

(з)

Рассмотрим теперь два предельных случая деформирования балки.

1. Предел упругого деформирования. Пусть Мупр — изгибающий момент, при котором напряжения σ_z достигают предела текучести только в крайних волокнах сечения (рис. 106, б).

Для его определения в формулах (г) и (ж) следует полагать m = 1 (идеальная упругость) и ξ=h/2. Тогда

(12.1)

где bh²/6 = Wynp — момент сопротивления сечения балки относительно оси у.

2. Предел пластического деформирования. Обозначим через Мт изгибающий момент, при котором текучесть материала наступает во всем сечении балки (рис. 106, в). Для его определения в формулах (г) и (ж) необходимо принять m = 0 (идеальная пластичность). Тогда

(12.2)

Здесь bh2/4=Wnл — пластический момент сопротивления.

М_т/М_упр=1,5.

В случае упругопластического деформирования балки, когда Мупр < М₀< М_т решение достигается формулами (ж) и (з). Так, из формулы (ж) определяется высота упругого ядра. С учетом формулы (12.2)

(12.3)

Из формулы (з) находятся напряжения:

(12.4)

В случае идеально упругопластического материала, следующего диаграмме на рис. 103, эпюра напряжений σ_z, будет иметь вид ломаной (рис. 106, г). Эта эпюра может быть описана следующими зависимостями:

(и)

Интегрируя выражение (д) с учетом зависимостей (и), аналогично предыдущему, найдем

(12.5)

П оперечный изгиб. В этом случае кроме нормальных напряжений σ_z. в балке возникают касательные напряжения τ_хz. Соотношение между нормальными и касательными напряжениями зависит от отношения высоты балки к ее длине. В длинных балках касательные напряжения малы по сравнению с нормальными, поэтому в рассматриваемой задаче будем ими пренебрегать, считая балку достаточно длинной. Тогда решение (12.5), полученное для чистого изгиба балки из идеально упругопластического материала, пригодно и для поперечного изгиба с той лишь разницей, что изгибающий момент будет переменной величиной, зависящей от координаты z.

Переменной вдоль оси балки окажется и высота упругого ядра ξ:

(к)

Рассмотрим эту зависимость применительно к балке на двух опорах, находящейся под действием равномерно распределенной нарузки интенсивностью q (рис. 107, а).

Изгибающий момент в поперечном сечении такой балки

(л)

Предельный пластический момент возникает в сечении посредине балки (при z = 0) и составляет

(м)

Подставляя значения моментов из формул (л) и (м) в уравнение (к), получаем

(12.6)

Из записанного выражения следует, что высота упругого ядра зависит от координаты z и от отношения интенсивности распределенной нагрузки q к ее предельному значению q_T. При q = q_T

На рис. 107, б показаны соответствующие этому результату границы между упругими и пластическими зонами (последние заштрихованы). В отличие от чистого изгиба здесь предельное состояние достигается только в одном сечении посередине балки, где образуется так называемый пластический шарнир.

При q = 0,9q_T из формулы (12.6) получаем

Образующиеся в этом случае пластические зоны показаны на рис. 107, в.

При q<(2/3)q_T пластические зоны не возникают вообще и балка испытывает только упругие деформации.