Глава 1. Теория напряжений § 1. Объект изучения. Основные принципы классической теории упругости

Современное состояние науки не дает возможности создать общие методы расчета, учитывающие все особенности строения реальных тел. Поэтому классическая теория упругости все свои выводы строит на некоторой модели деформируемого твердого тела. Такой моделью является идеально упругое тело. Рассмотрим основные свойства, которыми наделяется эта модель. Идеально упругое тело предполагается вполне упругим. Под полной упругостью понимается свойство твердых тел полностью восстанавливать первоначальную форму и объем после устранения внешних физических воздействий. Первоначальное состояние предполагается таковым, что при отсутствии нагрузок в теле не возникает никаких напряжений. Такое состояние тела обычно называется естественным. Предположение о естественном состоянии исключает из рассмотрения начальные напряжения, характер и величина которых, как правило, не известны и зависят от истории возникновения тела.

При идеальной упругости предполагается линейная зависимость между нагрузкой тела и его перемещением, что позволяет установить однозначную зависимость между напряжениями и деформациями для каждой температуры независимо от времени.

Идеально упругое тело предполагается сплошным, т. е. непрерывное до деформирования, оно остается непрерывным и после деформирования. Любой объем тела, включая микрообъемы, не имеет пустот и разрывов. Это дает возможность рассматривать деформации и перемещения точек тела как непрерывные функции координат. Тем самым не принимаются во внимание атомистическая структура вещества и движение молекул, составляющих тело.

Идеально упругое тело предполагается однородным. Это значит, что во всех точках тела при одних и тех же напряжениях возникают одинаковые деформации. Предположение об однородности позволяет считать величины, характеризующие упругие свойства тела, постоянными по всему объему тела.

Идеально упругое тело предполагается изотропным. Под этим подразумевается, что упругие свойства тела одинаковы по всем направлениям.

Реальные тела в той или иной степени отличаются от рассматриваемой модели. Поэтому приемлемость решений, получаемых в теории упругости, для реальных тел зависит от того, насколько эти тела можно считать вполне упругими, сплошными, однородными и изотропными.

Рассмотрим основные принципы теории упругости, В классической теории упругости принимается, что перемещения тела малы по сравнению с его линейными размерами, а относительные удлинения и углы сдвига малы по сравнению с единицей.

Малость перемещений и линейная зависимость между напряжениями и деформациями позволяют применить принцип независимости действия сил. Этот принцип дает возможность подсчитать результат воздействия на тело системы сил сложением результатов воздействия каждой силы в отдельности.

Большое значение при решении многих задач в теории упругости имеет принцип локальности эффекта самоуравновешенных нагрузок, или принцип Сен-Венана. Согласно этому принципу, система взаимно уравновешенных нагрузок, приложенная к малой части тела, вызывает напряжения, быстро убывающие по мере удаления от места приложения нагрузок (местные напряжения).

Высказанную мысль можно пояснить на следующем примере. При захвате проволоки клещами на нее действуют две равные и противоположно направленные силы Р (рис. 2), Они создают большие напряжения и деформации в месте захвата, быстро уменьшающиеся при удалении влево и вправо от него. На рисунке показана эпюра нормальных напряжений вдоль оси проволоки.

Принцип Сен-Венана имеет и другую формулировку: в точках твердого тела, достаточно удаленных от места приложения нагрузок, напряжения весьма мало зависят от характера распределения этих нагрузок по поверхности тела. Например, напряжения в балках, изображенных на рис. 3, будут различны в пределах области А. Однако вне области А во всех трех случаях напряжения мало отличаются.

Рис. 2

Рис. 3

На основании принципа Сен-Венана нагрузку, распределенную по небольшой части поверхности тела, можно заменять сосредоточенной силой,