§ 7. Понятие о теории пластического течения

Рассмотрим основные положения теории пластического течения. По смыслу названия она рассматривает пластическую деформацию твердого тела как состояние движения. Уравнения теории пластического течения могут быть написаны аналогично уравнениям теории малых упругопластических деформаций. Теория включает в себя три гипотезы.

1. Материал в пластическом состоянии несжимаем, т. е. ε₀ = 0.

2. Компоненты девиатора приращений пластических деформаций прямо пропорциональны компонентам девиатора напряжений. Эта гипотеза приводит к системе уравнений, аналогичной системе (11.10) в теории малых упругопластических деформаций:

(11.19)

3. Интенсивность напряжений является определенной функцией интеграла интенсивности приращений пластических деформаций, не зависящей от вида напряженного состояния, т. е. (11.20)

В случае идеальной пластичности интенсивность напряжений постоянна.

Как уже было указано, теория пластического течения находит основное применение в технологической практике. Однако в последнее время появились работы, в которых эта теория применяется к расчету строительных конструкций, работающих в условиях сложного нагружения или испытывающих большие деформации.

§ 8. Постановка задачи теории пластичности

Задача теории пластичности ставится аналогично задаче теории упругости. Известны действующие на тело поверхностные Xv, Vv, Zv (включая реакции) и объемные X, Y, Z силы, а также упругопластические свойства тела, определяющие диаграмму σ_i—ε_i. Требуется найти возникающие при этом напряжения, деформации и перемещения. Таким образом, имеется 17 неизвестных функций трех координат х, у и z: шесть составляющих напряжений — ; шесть составляющих деформации — три составляющие перемещения — u, v и w; интенсивность напряжений σ_i и интенсивность деформаций ε_i.

Для отыскания этих функций теория пластичности располагает следующей совокупностью уравнений:

три дифференциальных уравнения равновесия (4.1);

шесть физических уравнений (11.7), устанавливающих связь между напряжениями и деформациями, причем только пять из этих уравнений являются независимыми; в качестве шестого физического уравнения следует воспользоваться законом изменения объема (11.5);

шесть геометрических соотношений Коши (4.3);

зависимость между интенсивностью напряжений и интенсивностью деформаций (11.11);

выражение интенсивности деформаций (2.17).

Итого 17 уравнений с 17 неизвестными. Кроме того, необходимо также удовлетворить условиям на поверхности (4.2). Таким образом, математически задача при активной деформации и простом нагружении имеет решение. Однако практически получить его трудно, так как уравнения записываются в частных производных, и притом нелинейные.

Для материала со слабовыраженным упрочнением, действительную диаграмму деформирования которого можно заменить диаграммой идеально упругопластического или жесткопластического материала, согласно рис. 103 и 104, вместо шести физических уравнений используют одно из условий пластичности, например (11.4). Такая замена шести уравнений одним не позволяет однозначно определять деформации тела, полностью находящегося в пластическом состоянии Однозначное решение при использовании условия (11.4) получится только в том случае, если тело находится в упругопластическом состоянии, т.е. наряду с пластическими в нем существуют и упругие зоны. При решении задачи теории пластичности можно использовать те же способы, что и в теории упругости: решение в напряжениях, в перемещениях и смешанный способ. Точно так же возможно применение методов теории упругости, а именно: прямого, обратного и полуобратного. Однако решение задачи теории пластичности имеет свои специфические особенности вследствие нелинейности. Эффективным является приближенный метод, предложенный А. А. Ильюшиным, - метод упругих решений (разновидность метода последовательных приближений).

Рассмотрим кратко этот метод. Выражения напряжений через пластические деформации могут быть получены из аналогичных зависимостей теории упругости заменой постоянных упругих характеристик переменными. Так, согласно зависимости (11.14), через модуль продольной упругости можно выразить величину Е'= Е(1—ω) а через модуль сдвига — величину G'=G(1—ω).

Из указанной зависимости можно получить соотношение

а используя связь модуля сдвига и модуля продольной упругости в пластической стадии деформирования Е = 3G, получаем

(11.21)

Подставляя последнее соотношение в первую из формул (11.7) получаем

откуда

Обозначим:

Выполняя аналогичные преобразования в остальных пяти уравнениях (11.7), получим следующие зависимости:

(11.22)

где ~ фиктивные упругие напряжения, которые возникли бы в случае идеально упругого тела, т. е. при ω = 0.

Внося зависимости (11.22) в уравнения равновесия (4.1), получим

(11.23)

Здесь введены следующие обозначения:

(11.24)

Проведя аналогичную подстановку зависимостей (11.22) в условия на поверхности (4.2), получим

(11.25)

где обозначено:

(11.26)

Рассмотрим теперь ход решения задачи теории пластичности методом упругих решений. В первом приближении полагаем Тогда из формул (11.24) и (11.26) следует, что в первом приближении

и уравнения (11.23), (11.25) обращаются в уравнения (4.1), (4.2), т. е. приходим к задаче теории упругости о действии на тело объемных X, Y, Z и поверхностных Xv, Fv, Zv сил. Если такая задача решена, то можно определить в первом приближении составляющие напряжений составляющие деформаций

а также интенсивность напряжений и интенсивность деформаций .

После этого согласно соотношению (11.21) подсчитываем функцию ω во втором приближении:

Затем по формулам (11.24) подсчитываем во втором приближении / а по формулам (11.26) —

Согласно уравнениям (11.23), объемные силы во втором приближении можно рассматривать равными

(11.27)

а поверхностные силы, согласно условиям (11.25), равны

(11.28)

Теперь можно решить задачу теории упругости о действии на тело объемных (11.27) и поверхностных (11.28) сил, т. е. получить во втором приближении составляющие напряжений деформаций интенсивность напряжений и интенсивность деформаций .

Затем находим все величины в третьем приближении и т. д., пока разница между последовательными приближениями не окажется в пределах допустимой точности.