Лекция 13 § 5. Теорема о разгрузке

Пусть для некоторого тела, находящегося под действием заданной системы объемных и поверхностных сил, задача пластичности решена, т. е. во всех точках тела найдены напряжения, деформации и перемещения. Важной особенностью деформирования тела за пределом упругости является характер разгрузки. Под ней понимают процесс изменения внешних сил, при котором во всех областях тела, где произошло пластическое деформирование, интенсивность напряжений σ_i начинает убывать одновременно. Это значит, что тело из стадии активного деформирования переходит в стадию пассивного деформирования.

А. А. Ильюшиным сформулирована и доказана следующая теорема о разгрузке: перемещения точки тела в некоторый момент стадии разгрузки отличаются от перемещений в момент начала разгрузки на величины упругих перемещений, которые возникли бы в теле, если бы в естественном состоянии к нему были приложены внешние силы, равные разности внешних сил, действующих на тело в указанные моменты. То же относится к деформациям и напряжениям.

Отсюда, как следствие, формулируется теорема об остающихся в теле напряжениях, деформациях и перемещениях при полном снятии всех внешних сил: если для тела решена задача пластичности и заданным значениям внешних сил соответствует истинное состояние равновесия и если, кроме того, для тела решена задача теории упругости, т. е. тем же внешним силам соответствует фиктивное состояние упругого равновесия, то в результате полной разгрузки в теле остаются напряжения, деформации и перемещения, равные разностям их значений в истинном и фиктивном состояниях. При этом предполагается, что остаточные напряжения в результате разгрузки не выходят вторично за предел упругости.

Рассмотренная теорема устанавливает следующий порядок определения напряжений, деформаций и перемещений при разгрузке.

1. По уравнениям теории пластичности определяют напряжения, деформации и перемещения, которые возникают при наибольшей нагрузке, действующей до начала разгрузки.

2. По уравнениям теории упругости определяют напряжения, деформации и перемещения, которые вызывает нагрузка, равная разности между наибольшей нагрузкой, имевшей место до разгрузки, и нагрузкой, оставшейся после разгрузки.

3. Из напряжений, деформаций и перемещений, найденных при наибольшей нагрузке, вычитают напряжения, деформации и перемещения, соответствующие значению нагрузки, на которое произошла разгрузка. Это и будут напряжения, деформации и перемещения в рассматриваемый момент разгрузки.

§ 6. Варианты зависимости между интенсивностью напряжений и интенсивностью деформаций

Вид функциональной зависимости между интенсивностью напряжений и интенсивностью деформаций (11.11) определяется характером диаграммы испытания материала чаще всего при простом растяжении. Рассмотрим диаграмму (см. рис. 100, состоящую из двух участков: пря­молинейного Оа и криволинейного ab (упругопластический материал со степенным законом упрочнения). Напряжение в произвольной точке с криволинейного участка диаграммы изображается отрезком cd. Из чертежа следует, что напряжение в произвольной точке с

σ = cd = kd — kc.

Как известно, тангенс угла наклона к оси абсцисс прямолинейного участка диаграммы σ — ε равен модулю упругости Е. Согласно чертежу, kd = Еε и тогда

σ = Е ε — kc.

Вынося за скобки упругую часть деформации, получаем

σ = Е ε [1 — kc/(E ε)] (a)

Введем обозначение

ω(ε) = kc/(Eε) (б)

где ω (ε) — функция понижения напряжений, зависящая от деформации ε. Внося эту функцию в формулу (а), получаем зависимость (11.12) в такой форме:

На основании третьего закона теории малых упругопластических деформаций зависимость между интенсивностью напряжений и интенсивностью деформаций должна иметь такой же вид:

(11.14)

Вид функции понижения ω(ε_i) зависит от характера диаграммы. Если последняя состоит из двух прямолинейных участков Оа и аb (упругопластический материал с линейным упрочнением, см. рис. 101), то ω(ε_i) выражается за пределом текучести подобно функции (б):

ω(ε_i) = kc/(Eε_i) (в)

Входящий сюда отрезок kc составляет

где E' = tg β.

Подставляя полученное значение длины отрезка kc в формулу (в), находим

г де — относительное понижение модуля продольной упругости при переходе в пластическую область деформирования.

Окончательно функция понижения ω(ε_i), отвечающая диаграмме на рис. 101, принимает следующий вид:

(11.15)

Для материала, диаграмма которого не имеет прямолинейных участков, подобно диаграмме Oab, изображенной на рис. 102, зависимость (11.11) можно представить в виде степенного закона

(11.16)

где показатель степени

Если m = 1, получаем закон деформирования идеально упругого материала

чему на рисунке соответствует наклонная прямая штриховая линия Оас.

При m = 0 получаем закон деформирования идеально пластического материала, не обладающего упрочнением:

На рисунке 102 ему соответствует горизонтальная прямая штриховая линия kad.

Для идеального упругопластического материала, следующего диаграмме Прандтля (рис. 103), зависимость между интенсивностью напряжений и интенсивностью деформаций принимает такой вид:

(11.17)

При больших пластических деформациях (в 20 раз и более превышающих упругие) величиной упругой деформации можно пренебречь и справедлива диаграмма, приведенная на рис. 104. Ее называют диаграммой деформирования идеального жесткопластического материала. Она подчиняется зависимости

(11.18)