§ 4. Теория малых упругопластическнх деформаций
В основе теории малых упругопластическнх деформаций лежат следующие законы, вытекающие из обобщения экспериментальных материалов.
Первый закон — закон изменения объема. При упруго-пластическом активном и пассивном деформировании объемная деформация твердого тела всегда является упругой и подчиняется закону Гука (3.6):
(11.5)
Чтобы упростить решение многих задач, в теории пластичности используется допущение о несжимаемости материала. В этом случае объемную деформацию (2.6) принимают равной нулю:
(а)
Так как среднее напряжение σ0 при этом не равно нулю и является конечной величиной, то модуль объемного расширения должен быть принят равным бесконечности:
Отсюда следует, что для несжимаемого материала можно принимать коэффициент Пуассона v = 0,5. В этом случае соотношение (3.1) между модулем сдвига G и модулем продольной упругости E значительно упрощается:
Второй закон — закон изменения формы. При активном упругопластическом деформировании в процессе простого погружения направляющие тензоры напряжений и деформаций совпадают, т. е., согласно равенству (3.13),
Заменяя направляющие тензоры девиаторами по формулам (1.26) и (2.18). получаем
(б)
Из сравнения выражений (1.22) и (1.23) устанавливаем следующую связь между интенсивностью касательных напряжений и интенсивностью напряжений:
(в)
а из сравнения выражений (2.16) и (2.17) — между интенсивностью деформаций сдвига и интенсивностью деформаций:
(г)
Внося соотношения (в) и (г) в формулу (б), получаем закон изменения формы в таком виде:
(11.6)
Эта связь между девиаторами напряжений и деформаций может быть записана через их компоненты:
(11.7)
Шесть формул (11.7) не являются полностью независимыми. Действительно, складывая первые три из них, получаем тождество 0 = 0. Следовательно, формулы (11.7) представляют собой систему пяти уравнений.
В некоторых случаях удобно пользоваться эквивалентными соотношениями, вытекающими из формул (11.7) после несложных преобразований:
(11.8)
После введения главных касательных напряжений (1.24) и аналогичных им главных деформаций сдвига
соотношения (11.8) будут выглядеть так:
(11.9)
Принимая условие несжимаемости материала (а), получаем закон изменения формы в таком виде:
(11.10)
Третий з а к о н — интенсивность напряжений σi при активном деформировании данного материала является вполне определенной функцией интенсивности деформаций независимо от вида напряженного состояния:
(11.11)
Обработка многочисленных экспериментов, проведенных в условиях простого нагружения, показывает, что диаграмма σi — εi при любом напряженном состоянии подобна диаграмме σ — ε при растяжении. Следовательно, между интенсивностями напряжений σi и деформаций εi существует зависимость, подобная зависимости между напряжением σ и деформацией ε при простом растяжении:
(11.12)
Поэтому зависимость (11.11) при исследовании любого напряженного состояния — линейного, плоского или объемного — можно устанавливать из опытов на простое растяжение.
Анализ большого числа экспериментов, а также решение многих частных задач теории пластичности позволили А. А. Ильюшину высказать следующий постулат: теория малых упругопластических деформаций дает правильные (согласующиеся с опытом) результаты, по крайней мере в том случае, когда процесс погружения тела является простым.
Вопрос о том, как в процессе нагружения должны возрастать внешние силы, чтобы при любом неоднородном напряженном состоянии направляющий тензор оставался постоянным, в общем виде не решен. А. А. Ильюшиным дано только частное решение этой задачи, называемой теоремой о простом нагружении. Им доказано: для того чтобы направляющий тензор напряжений во всех точках тела оставался постоянным в процессе простого нагружения, достаточно, чтобы зависимость (11.11) была степенной функцией вида
(11.13)
и зависимость σ — ε была заменена условием несжимаемости материала. В формуле (11.13) A и m — произвольные постоянные.