§ 2. Математический аппарат теории пластичности
Как и в теории упругости, математический аппарат теории пластичности состоит из трех групп уравнений. Это уравнения теории напряжений, теории деформаций и физические уравнения. Уравнения первых двух групп совпадают с соответствующими уравнениями теории упругости.
Напряженное состояние в каждой точке тела, находящегося под действием объемных X, Y, Z и поверхностных Xv, Yv, Zv сил, определяется шестью составляющими напряжений:
Эти шесть величин связаны тремя дифференциальными уравнениями равновесия (4.1), а на поверхности тела должны выполняться три условия (4.2).
Напряженное состояние в точке может быть охарактеризовано также тремя инвариантами напряженного состояния (1.12) или (1.13). В теории пластичности широко применяются такие инвариантные величины, как интенсивность касательных напряжений (1.22) и интенсивность напряжений (1.23).
Деформированное состояние в точке напряженного тела характеризуется шестью составляющими деформации:
,
zx.
Они связаны геометрическими соотношениями Коши (4.3) с составляющими перемещениями u,v.w и должны удовлетворять шести уравнениям неразрывности деформаций (4.4). Основными, не связанными системой координат характеристиками деформированного состояния в точке являются инварианты деформированного состояния (2.15) и инвариантные величины: интенсивность деформаций сдвига (2.16) и интенсивность деформаций (2.17).
Физические уравнения теории пластичности зависят от того, какая теория рассматривается. В настоящее время существуют две основные теории пластичности.
К первому виду можно отнести теорию упругопластических деформаций (или деформационную теорию), в основе которой лежат уравнения, связывающие напряжения и деформации. Эта теория справедлива при малых деформациях, когда тело несжимаемо и подвергается простому нагружению. Теория этого вида получила распространение в области расчета строительных конструкций.
Ко второму виду относят теорию пластического течения, которая справедлива не только при простом нагружении, когда она совпадает с деформационной теорией, но и в определенных рамках сложного нагружения, а также при конечных деформациях. Поэтому эта теория находит применение в технологической практике (прокатка, волочение и т. д.), где исследуются большие пластические деформации.
Кроме этого различия существовало несколько противоречивых взглядов на механизм образования пластических деформаций, которые были устранены исследованиями А. А. Ильюшина. Он установил, что при простом нагружении и малых деформациях деформационная теория пластичности является частным случаем общей теории пластического течения.
§ 3. Условия пластичности
При решении задач теории пластичности во многих случаях необходимо знать, при каких условиях материал в рассматриваемой точке переходит из упругого состояния в пластическое. Такие условия называются условиями пластичности. При линейном напряженном состоянии условие пластичности устанавливается опытным путем. В этом случае отлично от нуля только главное напряжение σ1 и пластические деформации возникают, когда
(а)
где σт — предел текучести при растяжении (постоянная величина для каждого материала).
При чистом сдвиге условие пластичности, получаемое экспериментальным путем, имеет вид
,
где τт — предел текучести при чистом сдвиге (также постоянная величина для каждого материала).
В общем случае плоского или объемного напряженных состояний экспериментально невозможно установить условия пластичности для бесконечного множества соотношений между составляющими напряжений. Поэтому условие пластичности для сложного напряженного состояния устанавливается гипотетическим путем с последующей экспериментальной проверкой.
Рассмотрим два условия пластичности, наиболее часто используемые в теории пластичности и достаточно правильно определяющие переход материала из упругого состояния в пластическое.
Первое условие — условие пластичности Треска—Сен-Венана — гласит, что пластические деформации в материале возникают, когда максимальные касательные напряжения достигают значения, равного пределу текучести при чистом сдвиге:
(11.1)
Максимальные касательные напряжения определяются формулой (1.25):
(б)
Подставляя сюда главные напряжения при линейном напряженном состоянии (а), в момент появления пластических деформаций получаем
(в)
Сравнивая формулы (11.1) и (в), заключаем, что
(г)
После подстановки выражений (б) и (г) в формулу (11.1) приходим к условию пластичности Треска—Сен-Венана в таком виде:
(11.2)
Второе условие — условие пластичности Губера—Мизеса—Генки — гласит, что пластические деформации в материале возникают, когда интенсивность касательных напряжений достигает некоторого постоянного для данного материала значения:
(д)
Определим эту постоянную из результатов испытаний при простом растяжении. Подставляя в формулу (1.22) главные напряжения (а), найдем значение интенсивности касательных напряжений при растяжении в момент появления пластических деформаций:
(е)
Сравнивая формулы (е) и (д), заключаем, что постоянная
(ж)
Подставляя выражения (1.22) и (ж) в формулу (д), приходим к условию пластичности Губера—Мизеса—-Генки в такой форме:
(11.3)
или на основании формулы (1.23)
(11.4)
Оба рассмотренных условия пластичности дают весьма близкие результаты. Эксперименты несколько лучше подтверждают условие Губера—Мизеса—Генки. Кроме того, это условие удобнее с математической точки зрения, так как выражение τmах через шесть составляющих напряжений очень громоздко, а σi выражается через эти составляющие сравнительно просто. Поэтому в теории пластичности чаще используется условие пластичности Губера—Мизеса—Генки.