§ 3. Метод Бубнова — Галеркина

Метод Бубнова—Галеркина основан на свойстве ортогональных функций. В курсе математического анализа дается следующее определение ортогональных функций: если имеется семейство непрерывных функций

(а)

и интеграл произведения любых двух различных функций этого семейства в промежутке [а, b] равен нулю:

(9.6)

то функции (а) образуют в этом промежутке ортогональную систему. Например, семейство тригонометрических функций

1, cos х, sin х, cos 2х, sin 2x, cos nx, sin nx (6)

является ортогональной системой в промежутке [—, +].

Действительно,

(в)

причем эти интегралы исчерпывают всевозможные варианты комбинирования двух различных функций семейства (б).

На основании леммы из курса математического анализа следует: если одна из функций тождественно равна кулю, например ψ_k(x)=0, то она ортогональна ко всем без исключения функциям, так как в этом случае выполняется условие (9.8). В качестве примера можно привести функцию

(г)

представляющую собой левую часть дифференциального уравнения изогнутой оси балки. Эта функция тождественно равна нулю при любых значения х, и, следовательно,

Здесь интеграл берется по всей длине балки L, и поэтому функция «г» ортогональна в промежутке [0, L] к любой функции.

Если функцию прогибов w (х) заменить ее приближенным выражением в форме ряда

(д)

то функция (г) уже не будет тождественно равна нулю, а значит, и не будет ортогональна в указанном промежутке к любой функции. Можно, однако, потребовать, чтобы она была ортогональна хотя бы к ограниченному классу функций, например функций φ_i, составляющих ряд (д), т. е. чтобы

(е)

В результате получим п линейных уравнений для определения п постоянных коэффициентов а_i, входящих в ряд (д).

На использовании системы уравнений (е) для определения значений параметров а_i и основан метод Бубнова—Галеркина. Все рассуждения, приведенные для функции одного аргумента, можно применить и к функциям двух аргументов и более. Для решения задачи об изгибе пластинок уравнения Бубнова—Галеркина (е) можно представить в виде

(9.7)

где вместо линейного промежутка рассматривается плоская область S, ограниченная контуром пластинки, а функция w_n выражается следующим двойным рядом по области s:

(ж)

Таким образом, приближенная функция в уравнениях (9.7), представляющая собой левую часть дифференциального уравнения изогнутой срединной поверхности пластинки, ортогональна в области s ко всем функциям ряда (ж), входящим в эту приближенную функцию.

Методу Бубнова—Галеркина можно дать и другое толкование. Функция представляет собой проекцию на ось z всех внешних и внутренних сил, действующих на бесконечно малый элемент пластинки. Функция прогибов w_n есть перемещение в направлении той же оси. Значит, функции φ_kl, тоже являются перемещениями в направлении оси z и их можно считать возможными перемещениями. Следовательно, уравнения Бубнова—Галеркина (9.7) приближенно выражают равенство нулю работы всех внешних и внутренних сил в пластинке на возможных перемещениях φ_kl.

Таким образом, метод Бубнова—Галеркина, как и метод Ритца— Тимошенко, исходит из принципа возможных перемещений, поэтому оба метода равноправны. В обоих случаях аппроксимирующую функцию необходимо выбирать так, чтобы она удовлетворяла геометрическим граничным условиям. Выполнение статических условий не обязательно.