§ 9. Расчет трубы с толстыми стенками (задача Ламе)

Примером осесимметричной задачи является задача Ламе о толстостенной круглой трубе, находящейся под действием внутреннего р_а и внешнего р_ь равномерных давлений (рис. 42). Внутренний радиус трубы равен а, внешний — b.

Для решения воспользуемся формулами напряжений (7.35), полученными из общего решения осесимметричной задачи в перемещениях. Так как рассматриваемая задача относится к случаю плоской деформации, то указанные формулы должны включать упругие постоянные Е₁ и v₁. Согласно обозначениям (6.6), имеем

(a)

Для определения постоянных А и В имеем следующие условия на поверхности:

Подставляя их в формулы (а), получаем:

Решая совместно эти уравнения, находим:

После подстановки найденных постоянных в уравнения (а) получаем напряжения:

(7.36)

Интересно отметить, что сумма нормальных напряжений σ_r и σ_θ во всех точках трубы одинакова. Действительно, складывая почленно формулы (7.36), находим

(б)

В случае плоской деформации в поперечных сечениях трубы возникают также нормальные напряжения σ_z. По аналогии с формулой (6.1),

Подставляя сюда сумму напряжений (б), получаем

Таким образом, осевые нормальные напряжения σ_z. постоянны по длине трубы. Исключение составляют сечения, находящиеся вблизи концов трубы, где, очевидно, труба не будет испытывать плоской деформации.

В частном случае, когда на трубу действует только внутреннее давление, т. е. р_ь = 0, формулы напряжений (7.36) принимают следующий вид:

(7.37)

Эпюры этих напряжений изображены на рис. 43, а. Наибольшие сжимающие радиальные и растягивающие тангенциальные нормальные напряжения возникают в точках у внутренней поверхности трубы, т. е. при r= а:

В точках у наружной поверхности трубы (при r = b)

Рассмотрим трубу c наружным радиусом, намного большим внутреннего. Из формул (7.37) после деления числителя и знаменателя на b^г получаем:

Переходя к пределу при b→ , находим

(в)

Это значит, что все точки трубы испытывают одинаковые по значению радиальные и тангенциальные напряжения, отличающиеся лишь знаком. Следовательно, труба с бесконечно большим наружным радиусом находится в условиях чистого сдвига. В точках внутренней поверхности (при r=a) эти напряжения равны давлению р_а, а в точках, соответствующих r = 4а, они составляют р_а/16. Если в практических расчетах достаточна точность в 6%, то наружный радиус b > 4а можно считать бесконечно большим. В этом случае решение не связано с формой внешнего контура и формулы (в) характеризуют распределение напряжений для трубы с любой формой внешнего контура при условии, что все его точки отстоят от центра отверстия на расстоянии, большем 4а.

В другом частном случае, когда на трубу действует только наружное давление (р_а = 0), из формул (7.36) получаем

(7.38)

Эпюры этих напряжений изображены на рис. 43, б. В точках внутренней поверхности при r=а

а в точках наружной поверхности при r=b