§ 7. Функция напряжений для плоской задачи в полярных координатах
Решение плоской задачи в полярных координатах в напряжениях заключается в отыскании трех функций σr(r,θ), σθ(r,θ), и τrθ(r,θ) с помощью трех уравнений: двух уравнений равновесия (7.1) и уравнения неразрывности деформаций (7.3) при обязательном удовлетворении условий на поверхности.
Аналогично тому, как было сделано при решении плоской задачи в декартовых координатах (см. §3, гл. VI), решение в полярных координатах можно свести к отысканию одной функции напряжений φ(r,θ), Выберем эту функцию так, чтобы напряжения выражались через нее следующим образом:
(7.24)
Подставляя эти выражения в уравнения равновесия (7.1), убеждаемся, что при отсутствии объемных сил последние обращаются в тождества. Чтобы преобразовать уравнение неразрывности деформаций (7.3), сложим почленно формулы для нормальных напряжений (7.24)
Правая часть этой суммы представлена оператором Лапласа над функцией φ(r,θ). Следовательно,
и из уравнения (7.3) получаем
или
(7.25)
В развернутом виде уравнение неразрывности деформаций (7.25) записывается следующим образом:
(7.26)
Таким образом, функция напряжений φ(r,θ) для плоской задачи в полярных координатах также должна быть бигармонической.
Лекция 10 § 8. Осесимметричные задачи. Решение в перемещениях
О
становимся
на плоских задачах, в которых напряжения,
а, следовательно,
и
функция φ(r,θ),
не зависят от полярного угла θ. В этом
случае бигармоническое уравнение (7.26)
принимает более простой вид:
.
или после дифференцирования
(7.27)
Также упрощаются выражения напряжений (7.24):
(7.28)
При отсутствии объемных сил останется только одно из уравнений равновесия (7.1)
(7.29)
Упростятся и геометрические соотношения Коши (7.4), так как составляющая перемещения v в силу симметрии равна нулю:
(7.30)
Из формул закона Гука (7.5) останутся лишь две:
(a)
Осесимметричную задачу в перемещениях можно решить в общем виде. Из формул закона Гука (а) находим
(б)
С помощью соотношений (7.30) исключаем из этих уравнений составляющие деформации:
Подставляя эти напряжения в уравнение равновесия (7.29), получаем дифференциальное уравнение относительно составляющей перемещения u:
. 
(7.31)
Оно имеет переменные коэффициенты. Для решения приведем его к уравнению с постоянными коэффициентами посредством следующей подстановки:
t=lnr (7.32)
или
r= еt, (в)
Дифференцируя выражение (7.32) по переменной r, получаем
(г)
Установим связь между производными функции u по старой и новой переменным:
С учетом равенства (г) получаем
(д)
Вторая производная
(е)
Подставляя производные (д) и (е) в уравнение (7.31), находим
Решение этого уравнения имеет вид
Возвращаясь к старой переменной r, согласно зависимостям (7.32) и (в) получаем
(7.33)
Зная составляющую перемещения и, находим из уравнений (7.30) составляющие деформации:
(7.34)
а из формул (б) — составляющие напряжений:
(7.35)
Постоянные А и В определяются из граничных условий.