§ 4. Методы решения плоской задачи для прямоугольных односвязных областей

Отыскание бигармонической функции, удовлетворяющей условиям на контуре прямоугольной области, возможно различными методами. Ограничимся рассмотрением лишь некоторых из них: решением плоской задачи в полиномах (целых функциях) и в тригонометрических рядах.

1. Решение в полиномах. Решение плоской задачи осуществимо полуобратным методом, если сначала задаться аналитической формой функции напряжений, удовлетворяющей бигармоническому уравнению (6.11), а затем определить, каким нагрузкам на контуре она соответствует. В качестве бигармонической функции можно принимать алгебраические полиномы разных степеней.

Полином первой степени как функция напряжений нас не интересует, так как напряжения, подсчитанные по формулам (6.10), окажутся равными нулю.

Рассмотрим функцию напряжений в виде полинома второй степени

(6.12) Четвертые производные этой функции:

и, следовательно, уравнение (6.11) обращается в тождество при любых значениях коэффициентов а₂, b₂, с₂. Таким образом, полином второй степени является бигармонической функцией и может быть применен к решению плоской задачи.

Если функцию напряжений принять в виде полинома третьей степени

, (6.13)

то уравнение (6.11) по-прежнему будет обращаться в тождество при произвольных значениях коэффициентов a₃ b₃,_s и d₃, т. е. полином третьей степени является бигармонической функцией и также может быть применен для решения плоской задачи,

Зададим функцию φ(x,у) в виде полинома четвертой степени:

(6.14)

Четвертые производные этой функции

Подставляя их в бигармоническое уравнение (6.11), получаем

Откуда

(a)

Таким образом, не все коэффициенты полинома четвертой степени произвольны. Независимыми могут быть только четыре коэффициента, например а₄, b₄, с₄, и d₄, а пятый следует взять из соотношения (а). Следовательно, для того чтобы полином четвертой степени был бигармонической функцией, он должен иметь такой вид:

Рассмотрим полином пятой степени:

(6.15)

Четвертые производные этой функции:

Подставляя их в бигармоническое уравнение (6.11) и группируя слагаемые по аргументам х и у получаем

Чтобы это уравнение обращалось в тождество при любых значениях аргументов, необходимо коэффициенты при этих переменных приравнять нулю:

Если независимыми принять коэффициенты а₅, b₅, с₅ и d₅, то остальные два выразятся через них согласно уравнениям (б) следующим образом:

Внося коэффициенты e₅ и f₅ из соотношений (в) в формулу (6.15), находим

(6.16)

В такой форме полином пятой степени является бигармонической функцией и применим к решению плоской задачи.

С помощью алгебраических полиномов можно решить ряд простых задач: задачу о чистом изгибе балки, изгибе балки на двух опорах под действием равномерно распределенной нагрузки, задачу о треугольной подпорной стенке.