§ 3. Решение плоской задачи в напряжениях. Функция напряжений
Решение плоской задачи в напряжениях сводится к отысканию трех неизвестных функций
Для этого имеются два дифференциальных уравнения равновесия (6.2). К ним следует добавить уравнение неразрывности деформаций (6.5), заменив в нем деформации на напряжения посредством формул закона Гука (6.8) для обобщенного плоского напряженного состояния. После упрощения получим
(a)
Исключим из этого уравнения касательное напряжение τху. Для этого первое уравнение равновесия (6.2) продифференцируем по х, а второе — по у, и почленно сложим. Считая, как и в пространственной задаче, объемные силы постоянными, найдем
Подставив это соотношение в уравнение (а), получим
или короче
(6.9)
Таким образом, сумма нормальных напряжений в плоской задаче есть гармоническая функция. Это условие носит название уравнения Леви и выведено для обобщенного плоского напряженного состояния. Оно не содержит упругих постоянных и поэтому в случае плоской деформации имеет такой же вид.
Следовательно, решение плоской задачи теории, упругости при постоянстве объемных сил сведено к интегрированию трех уравнений: двух уравнений равновесия (6.2) и уравнения неразрывности деформаций (6.9) при обязательном удовлетворении условий на поверхности (6.3).
Решение плоской задачи можно упростить, сведя ее к отысканию иной функции φ(x, у), называемой функцией напряжений Эри. Ее выбирают с таким расчетом, чтобы дифференциальные уравнения равновесия (6.2) обращались в тождества. Эти условия будут удовлетворены, если напряжения выразить через функцию Эри следующими соотношениями:
(6.10)
Действительно, подставляя эти выражения в уравнения равновесия (6.2), получаем тождества, т. е. принятая функция напряжений φ(x, у) является решением этих уравнений.
Подставляя теперь напряжения (6.10) в уравнение неразрывности деформаций (6.9), находим
(б)
Выражение, стоящее в скобках, представляет собой оператор Лапласа над функцией φ(x, у). Поэтому уравнение (б) может быть представлено с помощью оператора Лапласа так:
Или
(в)
Левая часть последнего уравнения читается как «набла четыре φ» и называется двойным оператором Лапласа над функцией φ. Функция, подчиняющаяся уравнению (в), называется бигармонической, а само уравнение — бигармоническим уравнением. Представим его в развернутом виде:
Произведем дифференцирование:
(6.11)
Выразим условия на поверхности для плоской задачи (6.3) через функцию напряжений с помощью уравнений (6.10):
Итак, плоская задача теории упругости сведена к отысканию одной бигармонической функции φ(x,у). удовлетворяющей заданным условиям на контуре.