VI. Плоская задача теории упругости в прямоугольных координатах § 1. Плоская деформация

В се уравнения теории упругости значительно упрощаются в тех случаях, когда задачу можно свести к отысканию функций только двух переменных, например и . В упругом теле плоская деформация возникает, если перемещения происходят только параллельно плоскости :

Такие перемещения возникают в длинном призматическом или цилиндрическом теле, продольная ось которого параллельна оси , при действии нагрузки, перпендикулярной этой оси и постоянной вдоль нее. Близкими к этому случаю являются задачи о длинной подпорной стенке или плотине (рис. 17, а), тоннеле метрополитена (рис. 17, б), длинном цилиндрическом катке (рис. 17, в), длинной пластинке (рис. 17, г) при условии, что нагрузка не меняется вдоль оси . В таких задачах приходится иметь дело с деформациями, которые возникают только в плоскости .

Подставляя составляющие перемещения (а) в формулы (4.3), получаем

Отсутствие линейных деформаций в направлении оси ведет тем не менее к появлению нормальных напряжений . Эти напряжения зависят от напряжений, действующих в плоскости . Действительно, из третьей формулы закона Гука (4.5) при отсутствии деформации следует, что

откуда

Подставляя это соотношение в первые две формулы (4.5), находим

Из анализа формул (б), (в) и (4.6) следует, что

На основании соотношения (6.1) напряжение также является функцией только двух координат:

Основные уравнения теории упругости в случае плоской деформации упрощаются следующим образом. Из дифференциальных уравнений равновесия (4.1) остаются только два:

а третье обращается в тождество.

Так как на боковой поверхности во всех точках направляющий косинус , то из условий на поверхности (4.2) остаются также только два:

Шесть геометрических соотношений Коши (4.3) сводятся к трем:

Из шести уравнений неразрывности деформаций (4.4) остается только одно:

а остальные обращаются в тождества.

Из шести формул закона Гука (4.5) с учетом соотношений (б), (в) и (3.1) остаются только три:

Если ввести новые упругие постоянные

то эти формулы примут более удобный вид:

причем значение коэффициента пропорциональности в третьем уравнении не меняется;

Лекция 8 § 2. Обобщенное плоское напряженное состояние

В задаче о тонкой пластинке, нагруженной по боковой поверхности силами, параллельными ее основаниям и равномерно распределенными по толщине (рис. 18), возможны упрощения, аналогичные упрощениям в задаче о плоской деформации.

В этом случае, называемом обобщенным плоским напряженным состоянием, напряжения σ_z, τ_yz и τ_хz на основаниях пластинки равны нулю. Так как пластинка тонкая, то можно считать, что эти напряжения равны нулю и по всему объему пластинки. По той же причине остальные напряжения можно считать постоянными по толщине пластинки, т. е. не зависящими от координаты z, и, таким образом, возникает приблизительно следующее напряженное состояние:

Замечаем, что в отношении напряжений обобщенное плоское напряженное состояние отличается от плоской деформации лишь условием σ_z = 0. Переходя к деформациям, с помощью третьей формулы закона Гука (4.5) получаем, что составляющая

не равна нулю. Следовательно, основания пластинки будут несколько искривляться.

При этих предположениях основные уравнения плоской деформации — дифференциальные уравнения равновесия (6.2), условия на поверхности (6.3), геометрические соотношения Коши (6.4) и уравнение неразрывности деформаций (6.5) — сохраняют такой же вид и в задаче об обобщенном плоском напряженном состоянии, а формулы закона Гука (4.5) принимают следующий вид:

(6.8)

Последние отличаются от формул закона Гука для плоской деформации (6.7) только значениями упругих постоянных. Следовательно, при решении задач о плоской деформации и обобщенном плоском напряженном состоянии можно пользоваться одними и теми же уравнениями и объединять обе задачи в одну: плоскую задачу теории упругости.

В плоской задаче теории упругости неизвестными являются восемь функций: три составляющие напряжений ; три составляющие деформаций и две составляющие перемещений u и v. Уравнений для решения задачи также восемь: два дифференциальных уравнения равновесия (6.2), три геометрических соотношения Коши (6.4) и три формулы закона Гука (6.7) или (6.8).

Если по условию задачи перемещения искать не нужно, то остается шесть неизвестных: три составляющие напряжений и три составляющие деформаций. Для их определения достаточно остающихся шести уравнений: двух дифференциальных уравнений равновесия (6.2), трех формул закона Гука (6.7) или (6.8) и одного уравнения неразрывности деформаций (6.5).