Лекция 7 § 2. Кручение круглого бруса постоянного сечения

Круглый брус, подверженный кручению моментом М₀, изображен на рис. 14. Будем искать решение задачи в перемещениях обратным методом. Следуя Сен-Венану, зададим перемещения точек бруса следующим образом.

Перемещение точки А в плоскости поперечного сечения (рис. 15) определяется только поворотом этого сечения на угол относительно сечения, находящегося на расстоянии от рассматриваемого. Это перемещение равно . Здесь — угол закручивания, приходящийся на единицу длины; — радиус-вектор точки. Перемещение вдоль оси отсутствует, т. е. .

Раскладывая перемещение по осям и , находим: , , или с учетом того, что и , получаем следующие составляющие перемещений точек бруса при кручении:

Перемещения (а) должны удовлетворять уравнениям Ламе (4.8). Так как в эти уравнения входят вторые производные от перемещений, то они в случае отсутствия объемных сил обращаются в тождества. Остается удовлетворить условиям на поверхности, для чего найдем деформации и напряжения.

Подставляя перемещения (а) в формулы (4.3), получаем:

Таким образом, из составляющих деформаций отличны от нуля только две угловые деформации в плоскостях и . Интересно отметить, что при кручении объем тела не меняется, так как согласно формуле (2.6) объемная деформация .

По формулам закона Гука (4.6) находим составляющие напряжений

Из составляющих напряжений отличны от нуля только две.

Рассмотрим условия на боковой поверхности бруса. Направляющие косинусы нормали в любой точке боковой поверхности, согласно рис. 15, равны:

После подстановки напряжений (5.6) и направляющих косинусов (6) в условия на поверхности (4.2) находим , т. е. боковая поверхность свободна от нагрузок.

На правом торце при направляющие косинусы составляют и и условия на поверхности (4.2) дают:

Равнодействующие внутренних сил на правом торце:

Подставляя в эти выражения напряжения (в), находим

так как входящие сюда интегралы представляют собой статические моменты площади сечения относительно центральных осей и , а

так как входящий сюда интеграл представляет собой полярный момент инерции.

Таким образом, напряжения на правом торце сводятся к паре сил с моментом в плоскости торца. Аналогично можно показать, что и на левом торце напряжения сводятся к паре сил, но противоположного направления. Следовательно, перемещения (а), деформации (5.5) и напряжения (5.6) являются решением задачи о кручении круглого бруса постоянного сечения.

В заключение найдем равнодействующие касательных напряжений в каждой точке поперечного сечения и установим закон их распределения по сечению. На рис. 16 показаны составляющие напряжений в точке А с учетом их знаков согласно формулам (5.6). Равнодействующая

или с учетом соотношения (г)

т. е. касательные напряжения распределяются по сечению пропорционально расстоянию точки до центра сечения.

На том же рисунке показана эпюра этих напряжений вдоль одного из диаметров, причем

Таким образом, направление напряжений перпендикулярно радиус-вектору в каждой точке поперечного сечения. Следовательно, решение задачи о кручении круглого бруса постоянного сечения совпадает с решением, полученным в сопротивлении материалов.

С помощью остальных уравнений теории упругости полезно самостоятельно убедиться, что в рассмотренном случае, как и при чистом изгибе, полностью соблюдается гипотеза плоских сечений.