§ 3. Решение задачи теории упругости в напряжениях при постоянстве объемных сил
В дальнейшем круг рассматриваемых задач ограничим случаями, когда объемные силы постоянны по всему объему тела или равны нулю. Это ограничение позволяет значительно упростить некоторые уравнения при решении задач в напряжениях, так как все производные от составляющих объемных сил по координатам х, у, z обращаются в нуль.
Рассмотрим свойства функций θ и S1 при постоянстве объемных сил. Продифференцировав первое уравнение Ламе (4.8) по х, второе — по у, третье — по z и почленно сложив, получим
(a)
Выражение, стоящее в первых скобках, представляет собой оператор Лапласа над функцией θ:
Выражение во вторых скобках можно преобразовать следующим образом:
Тогда вместо уравнения (а) получим
,
или
(4.10)
Функция, подчиняющаяся уравнению (4.10), называется гармонической. Следовательно, при постоянстве объемных сил объемная деформация θ есть гармоническая функция.
Подставляя в уравнение (4.10) выражение объемной деформации (3.3) и деля на постоянный множитель, получаем
, (4.11)
т. е. при постоянстве объемных сил первый инвариант напряженного состояния тоже есть функция гармоническая.
При
решении задачи теории упругости в
напряжениях за основные неизвестные
принимают, как указывалось в § 1 настоящей
главы, шесть составляющих напряжений;
.
Для
их отыскания трех уравнений равновесия
(4.1) недостаточно и поэтому нужно добавить
еще шесть уравнений неразрывности
деформаций (4,4). В последние входят
составляющие деформации, которые
необходимо предварительно выразить
через напряжения. Подставляя в первое
уравнение (4.4) выражения деформаций
(4.5), получаем
.
(б)
Для практического применения уравнение (б) следует преобразовать, исключив из него касательное напряжение τху. Для этого продифференцируем первое уравнение равновесия (4.1) по х, второе — по у, третье — по z. Складывая почленно два первых из полученных уравнений и вычитая третье, находим
Подставляя соотношение (в) в уравнение (б), получаем
Прибавим
и вычтем в этом уравнении
.
Тогда
с учетом уравнения (4.11)
Аналогично можно преобразовать остальные уравнения неразрывности деформаций (4.4). В результате получим шесть уравнений:
(4.12)
Эти уравнения получены в 1892 г. итальянским математиком Е. Бельтрами. В 1899 г. австралиец Дж. Мичелл вывел аналогичные уравнения для общего случая, когда объемные силы не постоянны и, следовательно, в правую часть уравнений вместо нулей входят члены, содержащие производные от объемных сил. Поэтому часто уравнения (4.12) называют уравнениями Бельтрами—Мичелла.
Таким образом, для решения задачи теории упругости в напряжениях приходится интегрировать девять уравнений (4.1) и (4.12). Наличие трех лишних уравнений необходимо для получения однозначного решения, что обсуждалось при выводе уравнений неразрывности деформаций (2.8), следствием которых являются уравнения Бельтрами—Мичелла.
Полученные после интегрирования шесть составляющих напряжений должны удовлетворять условиям на поверхности (4.2). После этого по формулам закона Гука (4.5). определяют составляющие деформаций, а из геометрических соотношений Коши (4.3)— составляющие перемещений,