Лекция 5
IV. О решении задач теории упругости § 1. Основные уравнения теории упругости и способы их решения
В предыдущих главах получены три группы формул, которые образуют основные уравнения теории упругости,
Статические у р а в н е н и я. В эту группу входят дифференциальные уравнения равновесия (1.1):
(4.1)
и условия на поверхности (1.4):
(4.2)
2. Геометрические уравнения. В эту группу входят геометрические соотношения Коши (2.3):
(4.3)
и уравнения неразрывности деформаций (2.8):
(4.4)
3.-Физические у р а в н е н и я. В эту группу входят формулы закона Гука либо в прямой форме (3.2):
(4.5)
либо в обратной форме (3.8):
(4.6)
Имея эти зависимости, можно приступить непосредственно к решению задачи теории упругости об определении напряжений и деформаций, возникающих в упругом изотропном теле под действием внешних сил.
Перечисленные уравнения содержат 15 неизвестных функций:
шесть составляющих напряжений
шесть составляющих деформаций
и три составляющие перемещения
Для отыскания этих функций располагаем 15 уравнениями: тремя дифференциальными уравнениями равновесия (4.1), шестью геометрическими соотношениями Коши (4.3) и шестью формулами закона Гука (4.5) или (4.6), Таким образом, с математической точки зрения задача может быть решена и сводится к интегрированию указанных 15 уравнений при удовлетворении условий на поверхности (4.2).
Решение уравнений можно вести различными способами в зависимости от того, какие величины приняты за основные неизвестные:
Решение в перемещениях, когда за неизвестные приняты три составляющих перемещения: и u(х, у, z), v (х, у, z), w (х, у, z),
Решение в напряжениях, когда за неизвестные приняты шесть составляющих напряжений:
Решение в смешанной форме, когда за неизвестные приняты некоторые составляющие перемещений и некоторые составляющие напряжений.
§ 2. Решение задачи теории упругости в перемещениях
Для отыскания неизвестных трех составляющих перемещения u(х,у,z), v(х,у,z), w(х,у,z) необходимо иметь три уравнения, которые можно получить из дифференциальных уравнений равновесия (4.1), выразив в них напряжения через перемещения. Воспользуемся первым уравнением (4.1) и подставим в него напряжения из формул закона Гука (4.6), В результате получим
Затем в записанное уравнение подставим значения деформаций (4.3). После группировки слагаемых находим
(а)
Выражение в первых скобках можно обозначить сокращенно:
(4.7)
Этот дифференциальный оператор называется оператором Лапласа над функцией u(х,у,z) и читается «набла два u».
Выражение, стоящее во вторых скобках, можно упростить следующим образом:
После указанных сокращений и упрощений уравнение (а) принимает вид
Аналогично преобразуем и два других дифференциальных уравнения равновесия (4.1). Таким образом, получаем систему уравнений для решения задачи теории упругости в перемещениях:
(4.8)
Эти уравнения называются уравнениями Ламе. Они объединяют статические, геометрические и физические предпосылки теории упругости, рассмотренные в предыдущих главах. Действительно, в них содержатся условия равновесия каждого элемента тела, геометрические характеристики деформации u, v, w, θ и физические характеристики материала λ и µ.
Так же как уравнения равновесия, преобразуем условия на поверхности. Для этого в первое уравнение (4.2) подставим выражения напряжений через деформации (4.6):
Подставим сюда значения деформаций (4.3) и сгруппируем все члены следующим образом:
(б)
Выражение в первых скобках представляет собой производную функции u(х,у,z) по направлению нормали ν к поверхности тела. Действительно, вычисляя частную производную сложной функции u(х,у,z) по переменной ν, получаем
Производные координат по ν представляют собой соответствующие направляющие косинусы нормали ν:
Таким образом,
и уравнение (б) принимает вид
(в)
Точно так же можно преобразовать два других уравнения (4.2). В результате приходим к следующим трем условиям на поверхности, выраженным через перемещения:
(4.9)
Теперь можно составить план непосредственного решения задачи теории упругости в перемещениях. Для отыскания трех составляющих перемещения u, v и w необходимо проинтегрировать три уравнения Ламе (4.8) и удовлетворить условиям на поверхности (4.9). По найденным перемещениям из геометрических соотношений Коши (4.3) определяют составляющие деформации, а затем из формул закона Гука (4.6) — составляющие напряжений.