§ 4. Работа упругих сил. Потенциальная энергия деформации.
Выделим из тела бесконечно малый параллелепипед (см. рис. 7) и подсчитаем работу, совершаемую приложенными к нему упругими силами на возможных перемещениях.
Бесконечно малые перемещения, которые удовлетворяют лишь требованию непрерывности внутри тела и согласуются с наложенными на него связями, называются возможными (иногда их называют также виртуальными). Любые возможные перемещения можно было бы действительно создать, прикладывая к телу, закрепленному заданным образом, некоторую систему бесконечно малых нагрузок, но связывать их с действительными приращениями внешних сил нет необходимости.
Р ассмотрим сначала работу, совершаемую нормальными силами, действующими на гранях, нормальных к оси Ох и соответствующих напряжениям σх и
σx+
.
Если точкам тела сообщить какие-либо
возможные перемещения, то расстояние
между рассматриваемыми гранями изменится
на некоторую величину δεxdx
. Отбросив в выражении напряжения на
правой грани величину
как бесконечно малую по сравнению с σх,
найдем, что две равные и противоположно
направленные силы σхdydz
приложенные к указанным граням
параллелепипеда, произведут работу
Точно так же можно подсчитать возможную работу, совершаемую нормальными силами в направлении осей Оу и Oz на соответствующих им возможных перемещениях:
.
Касательные силы, параллельные оси Ох, на вертикальных гранях при отбрасывании бесконечно малых величин высшего порядка образуют пару сил с моментом τxydzdxdy. Для вычисления работы, совершаемой этой парой на возможных перемещениях, ее момент нужно умножить на приращение соответствующего угла сдвига ху:
Таким же путем подсчитаем работу двух других касательных составляющих на соответствующих им возможных перемещениях:
.
На основании принципа независимости действия сил возможную работу всех сил, приложенных к рассматриваемому элементу, получим как сумму возможных работ, совершаемых каждой силой в отдельности:
Разделив это выражение на объем рассматриваемого параллелепипеда dxdydz, получим приращение работы, отнесенной к единице объема тела в той точке, где выделен параллелепипед:
(а)
На основании закона сохранения энергии будем считать, что работа упругих сил полностью переходит в потенциальную энергию, накапливаемую телом при получении упругих деформаций и возвращаемую им обратно в виде работы сил при исчезновении деформации.
Если обозначить через W удельную потенциальную энергию, т. е. энергию, накапливаемую в единице объема деформируемого тела, то на основании принятого выше допущения приращение работы внутренних сил на возможных перемещениях полностью перейдет в потенциальную энергию и последняя получит приращение
Сравнивая это соотношение с формулой (а), получаем приращение удельной потенциальной энергии в таком виде:
(3.14)
Приращение W с точностью до величин второго порядка малости можно заменить полным дифференциалом:
Подставляя сюда значения напряжений (3.8), получаем
Интегрируя, найдем выражение потенциальной энергии через деформации:
(3.15)
Производя обратную операцию с формулами (3.8), получим
(3.16)
Следовательно, удельная потенциальная энергия, накапливаемая в упругом теле, равна полусумме произведений составляющих напряжений на соответствующие им составляющие деформации. Это соотношение называют формулой Клапейрона.
Удельную потенциальную энергию можно также выразить только через составляющие напряжений. Подставляя в формулу (3.16) значения деформаций (3.2), найдем
W=
+2(1+ν)(
)]/(2E) (3.17)
Согласно соотношениям (3.7), упругие постоянные λ и µ, входящие в формулу (3.15), положительные, следовательно, потенциальная энергия также всегда является величиной положительной.
Потенциальную энергию, накапливаемую во всем теле, подсчитывают суммированием удельной потенциальной энергии по всему объему тела V:
(3.18)
Подставляя сюда выражение удельной потенциальной энергии по формуле Клайперона (3.16), окончательно получаем
(3.19)