§ 2. Выражение напряжений через деформации

При решении задач часто бывает необходимо иметь выражения составляющих напряжений через составляющие деформации.

Выведем предварительно соотношения для объемной деформации. Складывая почленно первые три формулы обобщенного закона Гука (3.2), находим

(а)

Так как на основании выражений (2.6) и (1.12)

то формулу (а) можно представить в виде

(3.3)

т. е. относительная объемная деформация θ пропорциональна первому инварианту напряженного состояния S₁. Введя модуль объемного расширения

(3.4)

Получим

(б)

Если согласно равенству

(3.5)

первый инвариант напряженного состояния S₁ заменить утроенным средним напряжением в точке, то вместо уравнения (б) получим

(3.6)

Последнее соотношение гласит: среднее напряжение в точке пропорционально объемной деформации.

Для выражения составляющих напряжений через составляющие деформации воспользуемся первой формулой закона Гука (3.2), прибавляя и вычитая в квадратных скобках величину _х:

Выделяя первый инвариант напряженного состояния S_l согласно формуле (1.12) получим

(в)

Из формулы (3.3) имеем

(г)

Подставляя формулу (г) в (в), получаем

Откуда

(д)

Введем обозначения;

(3.7)

Тогда вместо формулы (д) получим

(е)

Упругие постоянные λ и µ называются коэффициентами Ламе. Они, так же как модули Е и G, характеризуют упругие свойства материала. Из сравнения формул (3.1) и (3.7) следует, что µ = G.

Аналогично формуле (е) можно записать еще две строки — для σ_y и σ_z. Присоединив к ним последние формулы (3.2), выраженные относительно напряжений, получаем

(3.8)

Эти формулы обычно называют обратной формой закона Гука. Складывая полyченно первые три из них, находим

или согласно выражениям (1.12) и (2.6)

(3.9)

Это соотношение устанавливает связь между первыми инвариантами напряженного и деформированного состояний через коэффициенты Ламе. Заменяя опять первый инвариант напряженного состояния S₁ утроенным средним напряжением в точке σ₀, а объемную деформацию θ — утроенной средней деформацией в точке, согласно равенству

(3.10)

получаем еще одну форму закона Гука:

(З.11)

т. е. среднее напряжение в точке пропорционально среднему удлинению в этой точке.

§ 3. Закон Гука в тензорной форме

Закон Гука имеет наиболее простой и компактный вид, если его записать в тензорной форме. Для этого первую формулу закона Гука в форме (3.8) преобразуем следующим образом; вычтем из левой и правой его частей среднее напряжение σ₀:

Выразим в правой части θ и σ₀ через среднюю деформацию в точке на основании соотношений (З.10) и (3.11):

После упрощения с учетом того, что µ = G,

(а)

Аналогично можно получить еще два уравнения:

(б)

Касательные напряжения из формул (3.8) представим в таком виде:

(в)

Левые части уравнений (а), (б) и (в) представлены компонентами девиатора напряжений, а правые — соответствующими компонентами девиатора деформаций, умноженными на один и тот же коэффициент 2G. Следовательно, девиатор напряжений пропорционален девиатору деформаций:

(3.12)

Так как девиаторы напряжений и деформаций характеризуют только ту часть деформации, которая связана с изменением формы тела, к уравнению (3.12) следует добавить закон Гука для объемной деформации, например в виде соотношения (3.6).

Таким образом, обобщенный закон Гука выражается двумя равенствами: тензорным (3.12) и скалярным (3.6) с двумя упругими постоянными 2G и К. Зависимость (3.6) называется законом, изменения объема, а зависимость (3.12) — законом изменения формы.

Уравнение (3.12) можно записать еще компактней, если использовать понятия направляющих тензоров напряжений и деформации. Разделив обе части уравнения на интенсивность касательных напряжений τ_i найдем

(г)

Подставляя в формулу (2.16) значения составляющих деформации (3.2) и сравнивая полученный результат с формулой (1.22), устанавливаем связь между интенсивностью касательных напряжений и интенсивностью деформаций сдвига:

Внося это соотношение в правую часть уравнения (г), после сравнения с формулами (1.26) и (2.18) получаем

= (3.13)

Таким образом, вместо зависимости (3.12) можно рассматривать равенство (3.13), которое гласит, что направляющие тензоры напряжений и деформации совпадают.