§ 4. Тензор деформаций. Главные деформации. Интенсивность деформаций

Между теорией напряжений и теорией деформаций существует математическая аналогия: все формулы теории деформаций можно получить из соответствующих формул теории напряжений, если в последних нормальные напряжения заменить линейными деформациями, а касательные напряжения — половинами угловых деформаций.

Так, линейная деформация по произвольному направлению , заданному направляющими косинусами l, m и n, определяется формулой, аналогичной зависимости (1.7):

(2.9)

а угловая деформация в произвольной плоскости ν, заданной векторами ν и  с направляющими косинусами l, m и n, и l₁, m₁ и n₁, определяется формулой, аналогичной зависимости (1.10):

. (2.10)

Аналогично тензору напряжений (1.14) для описания деформированного состояния в точке можно записать тензор деформаций

(2.11)

который может быть разложен на шаровой тензор и девиатор:

, (2.12)

Здесь

(2.13)

представляет собой среднюю деформацию в точке; Т₁ — единичный тензор, определяемый матрицей (1.18), а девиатор деформаций

(2.14)

Последний характеризует изменение формы тела в окрестности рассматриваемой точки, так как объемная деформация, равная сумме компонентов главной диагонали девиатора деформации, отсутствует:

Разложение (2.12) является не только формальной операцией. Они имеет физический смысл, как это уже было отмечено при разложении тензора напряжений.

Аналогично главным напряжениям можно найти главные деформации т. е. такие деформации, в плоскости которых отсутствуют сдвиги. Для их определения получаем кубическое уравнение, три корня которого ₁,₂, ₃ равны главным деформациям. Коэффициенты кубического уравнения представляют собой инварианты деформированного состояния:

­­ (2.15)

Таким образом, объемная деформация (2.6) является инвариантом, по отношению к выбору системы координат.

Направления трех главных деформаций взаимно перпендикулярны и называются главными осями деформаций. Они обладают тем свойством, что по их направлению возникает только растяжение или сжатие, а сдвиги отсутствуют.

Аналогично интенсивности касательных напряжений (1.22) в теории деформации используется инвариантная величина

(2.16)

называемая интенсивностью деформации сдвига и представляющая собой удвоенный угол сдвига в плоскости октаэдрической площадки.

Интенсивности напряжений (1.23) в теории деформаций соответствует интенсивность деформации:

(2.17)

Аналогично направляющему тензору напряжений введем понятие направляющего тензора деформаций, под которым будем подразумевать девиатор деформаций, каждый компонент которого разделен на половину интенсивности деформаций сдвига

(2.18)

Так же как и направляющий тензор напряжений, направляющий тензор деформаций определяет только главные направления деформаций и соотношения между компонентами тензора деформаций, но не определяет их значения

Лекция 4 глава III. Обобщенный закон гука § 1, Выражение деформаций через напряжения

Для совместного рассмотрения теории напряжений и теории деформаций необходимо установить зависимости между напряжениями и деформациями. Эти зависимости носят физический характер. Действительно, рассматривая изучаемые в курсе сопротивления материалов диаграммы растяжения различных материалов, заключаем, что зависимости напряжение — деформации определяются физическими свойствами материалов.

Ограничиваясь малыми деформациями упругого тела, связь между напряжениями и деформациями можно принять линейной. При этом в общем случае анизотропии каждая составляющая напряжения может зависеть от всех составляющих деформации:

(а)

Коэффициенты a_mn называются упругими постоянными, и в обще случае их оказывается 36. Рассматривая только обратимые процесс деформирования, т, е. такие, при которых после снятия нагрузок форма и размеры тела полностью восстанавливаются, можно убедиться, что между коэффициентами a_mn существует следующая зависимость: a_mn= a_nm.

Следовательно коэффициенты, рассматриваемые симметрично относительно главной диагонали, попарно равны между собой. Тогда в анизотропном теле количество упругих постоянных снижается до 21.

В случае изотропного тела уравнения (а) не должны изменяться при новых преобразованиях координат. Преобразуя координаты путем поворота осей на 180⁰ можно установить, что нормальные напряжения не связаны с угловыми деформациями, а касательные — с линейными (количество упругих постоянных снижается до 12).

Кроме того, касательные напряжения не связаны с угловыми деформациями в других плоскостях, что уменьшает общее количество независимых постоянных до 9. После поворотом осей на 90^0: и на произвольный угол число независимых упругих постоянных сокращается до двух, в качестве которых можно п ринять постоянные, известные из курса сопротивления материалов.

При испытании пластины на растяжение установлена пропорциональность между нормальным напряжением и линейной деформацией в одном направлении

(б)

называемая законом Гука. Входящая сюда упругая постоянная Е называется модулем продольной упругости. Также экспериментально установлен закон, связывающий линейные деформации в продольном и поперечном направлениях:

= —  . (в)

Входящая сюда вторая упругая постоянная  называется коэффициентом Пуассона.

При испытании на чистый сдвиг установлена пропорциональность между касательным напряжением и угловой деформацией в плоскости действия этого напряжения:

(г)

Здесь появляется уже третья упругая постоянная G, называемая модулем сдвига. Однако модуль сдвига не является новой независимой упругой постоянной, так как он связан с первыми двумя известной из курса сопротивления материалов зависимостью

(3.1)

Чтобы установить зависимости между составляющими деформации и напряжений при объемном напряженном состоянии, выделим из тела бесконечно малый параллелепипед (см. рис, 7) и рассмотрим действие только нормальных напряжений.

Определим удлинение ребра ab, параллельного напряжению _х. При действии этого напряжения согласно закону Гука (б) возникнет относительное удлинение ребра

= /E

Напряжение _у вызовет аналогичное удлинение в направлении, перпендикулярном ребру ab,

= /E,

а в направлении самого ребра — укорочение, которое согласно формуле (в) составляет

,

или с учетом выражения деформации

,

Аналогично можно найти относительное укорочение ребра ab при действии напряжения _z:

На основании принципа независимости действия сил находим полное относительное удлинение ребра ab как сумму удлинений при действии каждого напряжения:

или, вынося за скобки Е и ,

Аналогично можно найти линейные деформации по направлениям осей у и z:

,

Связь между угловыми деформациями и касательными напряжениями, согласно закону Гука при сдвиге (г), можно представить независимо для каждой из трех плоскостей, параллельных координатным плоскостям:

Таким образом, имеем шесть формул:

(3.2)

Они выражают линейную зависимость между составляющими деформации и напряжений в изотропном упругом теле и называются обобщенным законом Гука.