Лекция 1 5

ВВЕДЕНИЕ 5

§ 1. Теория упругости, пластичности и ползучести. Ее задачи и методы 5

§ 2. Краткий исторический очерк развития теории упругости и пластичности 7

ГЛАВА 1. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ 10

§ 1. Объект изучения. Основные принципы классической теории упругости 10

§ 3. Дифференциальные уравнения равновесия 17

Лекция 2 20

Напряжения на наклонных площадках. Условия на поверхности 20

§ 5. Исследование напряженного состояния в точке тела. Главные напряжения. Инварианты напряженного состояния 22

§ 6. Тензор напряжений. Интенсивность напряжений. Наибольшие касательные напряжения 27

Лекция 3 33

ГЛАВА II.ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ 33

§ 1, Составляющие перемещения и деформации. Зависимость между ними 33

§ 2. Объемная деформация 37

§ 3. Уравнения неразрывности деформаций 37

§ 4. Тензор деформаций. Главные деформации. Интенсивность деформаций 41

Лекция 4 44

ГЛАВА III. ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ГУКА 44

§ 1, Выражение деформаций через напряжения 44

§ 2. Выражение напряжений через деформации 48

§ 3. Закон Гука в тензорной форме 50

§ 4. Работа упругих сил. Потенциальная энергия деформации. 52

Лекция 5 57

IV. О РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 57

§ 1. Основные уравнения теории упругости и способы их решения 57

§ 2. Решение задачи теории упругости в перемещениях 59

§ 4. Типы граничных условий на поверхности тела 64

§ 5. Методы решения задачи теории упругости 65

Лекция 6 66

ГЛАВА V. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 66

§ 1. Чистый изгиб прямого призматического бруса 66

Лекция 7 76

§ 2. Кручение круглого бруса постоянного сечения 76

VI. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ 80

§ 1. Плоская деформация 81

Лекция 8 85

§ 2. Обобщенное плоское напряженное состояние 85

§ 3. Решение плоской задачи в напряжениях. Функция напряжений 87

§ 4. Методы решения плоской задачи для прямоугольных односвязных областей 89

Лекция 9 93

VII. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ 93

§ 1. Основные уравнения 93

§ 7. Функция напряжений для плоской задачи в полярных координатах 99

Лекция 10 101

§ 8. Осесимметричные задачи. Решение в перемещениях 101

§ 9. Расчет трубы с толстыми стенками (задача Ламе) 104

Лекция 11 109

ГЛАВА IX. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 109

§ 1. Сущность вариационных методов решения дифференциальных уравнений 109

§ 2- Метод Ритца — Тимошенко 111

§ 3. Метод Бубнова — Галеркина 118

Лекция 12 121

XI. ОСНОВНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ 121

§ 1. Активная, пассивная и нейтральная деформации. Простое и сложное нагружения 121

§ 2. Математический аппарат теории пластичности 125

§ 3. Условия пластичности 126

§ 4. Теория малых упругопластическнх деформаций 128

Лекция 13 132

§ 5. Теорема о разгрузке 132

§ 6. Варианты зависимости между интенсивностью напряжений и интенсивностью деформаций 134

§ 7. Понятие о теории пластического течения 138

§ 8. Постановка задачи теории пластичности 139

Лекция 14 144

ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ 144

§ 1. Упругопластический изгиб призматического бруса 144

§ 2. Упругопластическое кручение бруса круглого сечения 150

Лекция 15 153

Упругопластическое состояние толстостенной трубы, находящейся под действием внутреннего давления 153

Лекция 1 введение § 1. Теория упругости, пластичности и ползучести. Ее задачи и методы

Теория упругости и пластичности представляет собой раздел механики, изучающий деформации в твердом теле, вызванные физическими воздействиями, и возникающие при этом внутренние силы как в состоянии покоя, так и в состоянии движения.

Такие же задачи решаются в сопротивлении материалов. Однако между теорией упругости и пластичности и сопротивлением материалов имеются существенные различия, которые заключаются прежде всего в исходных предпосылках и методах решения задач.

В сопротивлении материалов рассматриваются приближенные теоретические методы, использующие кинематические или статические гипотезы (например, гипотеза плоских сечений), причем основным объектом сопротивления материалов являются элементы стержневых систем.

Основные предпосылки теории упругости и пластичности отличаются большей широтой и для разработки расчетных методов используется математический аппарат более строгий, чем в сопротивлении материалов.

В теории упругости и пластичности рассматриваются задачи, которые не могут быть решены методами сопротивления материалов. Кроме того, аппарат теории упругости и пластичности позволяет дать оценку точности решения задач, рассматриваемых в сопротивлении материалов.

В теории упругости и пластичности применяют и приближенные методы. В связи с этим различают математическую и прикладную теорию упругости и пластичности, причем в последнем случае решение задач базируется на ряде дополнительных допущений.

Рассматриваемая нами теория упругости называется классической или линейной. В ее основе лежит представление об идеально упругом теле (материале). Для такого тела характерна наиболее простая линейная зависимость между напряжениями и деформациями и диаграмма растяжения—сжатия представляет собой наклонную прямую ОАВ, проходящую через начало координат (рис. I).

Е сли материал даже при малых напряжениях не подчиняется линейному закону деформирования или процесс деформирования перешел за предел пропорциональности и диаграмма изображается кривой ОАС, то в качестве физического закона деформирования следует принять уравнение этой кривой = f(). Если при медленной разгрузке процесс будет протекать по кривой САО, повторяя в обратном порядке те же состояния, что и при нагружении, а график процесса возвратится в начальную точку О, то такой материал принято называть нелинейно упругим.

Законы деформирования нелинейно упругого тела изучаются нелинейной теорией упругости.

Теория пластичности в отличие от теории упругости рассматривает тела, которые не подчиняются законам упругости либо с самого начала приложения к ним внешних воздействий, либо начиная с некоторой стадии нагружения.

Реальные деформируемые твердые материалы обладают разнообразными механическими свойствами. Поэтому в рамках названных выше теорий применяются различные расчетные модели материалов, отражающие специфику их деформирования под нагрузкой. С моделями таких материалов и методами их расчета можно познакомиться по более полным руководствам.