4. Изопроцессы в идеальном газе
4.1. Уравнения изопроцессов
Изопроцессами называются такие процессы, в которых какое-либо условие или параметр поддерживаются постоянными.
К характерным изопроцессам относятся следующие:
1. Изотермический. Это обратимый процесс, проходящий при постоянной температуре (газ в термостате): Т = const = Т0. Для него уравнение состояния идеального газа принимает вид:
pV = νRT0 = const. (4.1)
Это уравнение изотермы. Его график – это симметричная гипербола (рис. 4.1). Для любых двух точек на изотерме p1V1 = p2V2.
2. Изохорный процесс. Это обратимый процесс, протекающий при постоянном объёме, т. е. в баллоне с жёсткими стенками: V = const = V0. Для него уравнение состояния pV = νRT примет вид:
=
const.
Это уравнение изохоры. На изохоре р1 /T1 = р2 /T2 (рис. 4.2).
3. Изобарный процесс. Это обратимый процесс, протекающий при постоянном давлении р = р0 = const. Для него уравнение pV = νRT примет вид:
=
const.
Это уравнение изобары. На изобаре V1 /T1 = V2 /T2 (рис. 4/3).
4. Адиабатный процесс. Это обратимый процесс в газе, протекающий без теплообмена с окружающей средой, т. е. при котором Q = 0. Адиабатный процесс может быть проведён в цилиндре с теплонепроницаемыми стенками, если поршень медленно поднимать или опускать (рис. 4.4). При этом энергообмен с окружающей средой происходит только в форме механической работы.
П
олучим
уравнение адиабатного процесса аналогично
трём первым. Для этого запишем первый
закон термодинамики:
dQ = pdV + νCV dT.
Так как у нас dQ = 0, то
νCV d T= −pdV.
Подставляя сюда р = νRT/V, получим:
CV
dT
= −
,
или
.
Интегрирование даёт:
,
или:
=
ln(const),
или:
=
const.
А так как R = Cp − CV, то, обозначая
Ср /СV = γ,
получаем:
TV(γ−1) = const. (4.2)
Это и есть уравнение адиабаты в координатах (V, Т).
Замечание 1. Величина
γ = Ср /СV
называется показателем адиабаты.
Для получения уравнения адиабаты в координатах (р, V) подставим в (4.2) T = pV/(νR) из уравнения состояния. Это даёт:
const,
или:
pV γ = соnst. (4.3)
Замечание 2. Уравнение (4.3) похоже на уравнение изотермы (4.1), только у адиабаты график р(V) идёт круче, так как γ = Ср /СV > 1 (рис. 4.5).
И, наконец, получим уравнение адиабаты в координатах (р, Т). Для этого подставим в (4.2) V = νRT/p из уравнения состояния. Это даёт:
,
или:
Т γ р1−γ = const,
или:
.
(4.4)
Замечание 3.
Так как СV
=
,
Ср
= СV
+ R
=
,
то
.
Для одноатомных газов (i = 3) γ = 5/3,
для двухатомных газов (i = 5) γ = 7/5 = 1,4,
для многоатомных газов (i = 6) γ = 4/3.
4.2. Теплоёмкости идеального газа при изопроцессах
Вычислим молярную теплоёмкость идеального газа при различных изопроцессах в соответствии с её определением:
С=
.
1. Изотермический процесс:
∞.
Здесь всё сообщённое газу тепло Q идёт на совершение работы:
dQ = pdV + νCV dT|T=const = pdV = dA.
2. Изохорный процесс:
.
Здесь тепло идёт только на нагрев газа: dQ = νCV dT = dU.
3. Изобарный процесс:
.
Здесь тепло идёт и на нагрев, и на совершение газом работы: dQ = dU + pdV.
4. Адиабатный процесс:
.